Номер 250, страница 50 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 2. Целые выражения. §6. Свойства степени с натуральным показателем - номер 250, страница 50.

Условие.

250. Докажите, что значение выражения:

1) $17^8 + 19$ делится нацело на 10;

2) $64^{64} - 1$ делится нацело на 5;

3) $3^{4n} + 14$, где $n$ — натуральное число, делится нацело на 5.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

1) Чтобы доказать, что значение выражения $17^8 + 19$ делится нацело на 10, необходимо показать, что его последняя цифра равна 0. Последняя цифра значения выражения зависит от последних цифр его слагаемых.
Последняя цифра числа 19 равна 9.
Найдем последнюю цифру числа $17^8$. Она совпадает с последней цифрой числа $7^8$. Рассмотрим последние цифры степеней числа 7:
$7^1$ оканчивается на 7;
$7^2 = 49$ оканчивается на 9;
$7^3 = 343$ оканчивается на 3;
$7^4 = 2401$ оканчивается на 1;
$7^5 = 16807$ оканчивается на 7.
Последние цифры степеней числа 7 повторяются с циклом в 4 шага (7, 9, 3, 1). Чтобы найти последнюю цифру $7^8$, нужно определить, на каком шаге цикла мы окажемся. Так как показатель степени $8$ делится нацело на 4 ($8 : 4 = 2$), последняя цифра будет такой же, как у $7^4$, то есть 1.
Теперь найдем последнюю цифру суммы $17^8 + 19$. Она равна последней цифре суммы последних цифр слагаемых: $1 + 9 = 10$.
Таким образом, значение выражения $17^8 + 19$ оканчивается на 0, а следовательно, оно делится нацело на 10.
Ответ: Доказано.

2) Чтобы доказать, что значение выражения $64^{64} - 1$ делится нацело на 5, необходимо показать, что его последняя цифра равна 0 или 5.
Найдем последнюю цифру числа $64^{64}$. Она совпадает с последней цифрой числа $4^{64}$. Рассмотрим последние цифры степеней числа 4:
$4^1$ оканчивается на 4;
$4^2 = 16$ оканчивается на 6;
$4^3 = 64$ оканчивается на 4;
$4^4 = 256$ оканчивается на 6.
Последние цифры степеней числа 4 повторяются с циклом в 2 шага (4, 6). Для нечетных степеней последняя цифра — 4, для четных — 6.
Поскольку показатель степени 64 является четным числом, число $64^{64}$ оканчивается на 6.
Теперь найдем последнюю цифру разности $64^{64} - 1$. Она равна разности последних цифр: $6 - 1 = 5$.
Таким образом, значение выражения $64^{64} - 1$ оканчивается на 5, а следовательно, оно делится нацело на 5.
Ответ: Доказано.

3) Чтобы доказать, что значение выражения $3^{4n} + 14$ делится нацело на 5 при любом натуральном $n$, необходимо показать, что его последняя цифра равна 0 или 5.
Последняя цифра числа 14 равна 4.
Найдем последнюю цифру числа $3^{4n}$. Выражение $3^{4n}$ можно представить как $(3^4)^n$.
Найдем значение $3^4$: $3^4 = 81$.
Тогда $3^{4n} = 81^n$.
Рассмотрим, на какие цифры оканчиваются степени числа 81:
$81^1$ оканчивается на 1;
$81^2$ оканчивается на 1;
и так далее. Любая натуральная степень числа, оканчивающегося на 1, также будет оканчиваться на 1.
Следовательно, при любом натуральном $n$ число $3^{4n}$ оканчивается на 1.
Теперь найдем последнюю цифру суммы $3^{4n} + 14$. Она равна последней цифре суммы последних цифр слагаемых: $1 + 4 = 5$.
Таким образом, значение выражения $3^{4n} + 14$ при любом натуральном $n$ оканчивается на 5, а следовательно, оно делится нацело на 5.
Ответ: Доказано.