Номер 257, страница 50 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 2. Целые выражения. §6. Свойства степени с натуральным показателем - номер 257, страница 50.

Условие.

257. В шестизначном числе первая и четвёртая, вторая и пятая, третья и шестая цифры одинаковы. Докажите, что это число кратно числам 7, 11 и 13.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Пусть данное шестизначное число $N$. По условию задачи, его первая и четвёртая цифры одинаковы (обозначим их $a$), вторая и пятая — одинаковы (обозначим их $b$), третья и шестая — одинаковы (обозначим их $c$). Тогда число $N$ можно записать в виде $\overline{abcabc}$. Учтём, что, поскольку число шестизначное, $a \neq 0$.

Представим это число в виде суммы разрядных слагаемых в десятичной системе счисления:
$N = a \cdot 10^5 + b \cdot 10^4 + c \cdot 10^3 + a \cdot 10^2 + b \cdot 10^1 + c \cdot 10^0$

Сгруппируем слагаемые. Можно заметить, что это число состоит из двух повторяющихся блоков цифр $\overline{abc}$:
$N = (a \cdot 10^5 + b \cdot 10^4 + c \cdot 10^3) + (a \cdot 10^2 + b \cdot 10 + c)$
Вынесем $1000$ за скобки в первой группе слагаемых:
$N = 1000 \cdot (a \cdot 10^2 + b \cdot 10 + c) + (a \cdot 10^2 + b \cdot 10 + c)$
Пусть $X = a \cdot 10^2 + b \cdot 10 + c$ — это трехзначное число $\overline{abc}$. Тогда выражение для $N$ принимает вид:
$N = 1000 \cdot X + X = (1000 + 1) \cdot X = 1001 \cdot X$

Таким образом, любое шестизначное число вида $\overline{abcabc}$ можно представить как произведение трехзначного числа $\overline{abc}$ на 1001.
Чтобы доказать, что число $N$ кратно числам 7, 11 и 13, достаточно показать, что число 1001 кратно этим числам.

Найдем произведение чисел 7, 11 и 13:
$7 \cdot 11 \cdot 13 = 77 \cdot 13 = 1001$
Поскольку $1001 = 7 \cdot 11 \cdot 13$, число 1001 делится без остатка на 7, на 11 и на 13.

Следовательно, исходное число $N$ можно представить в виде:
$N = (7 \cdot 11 \cdot 13) \cdot X$
Из этого представления видно, что число $N$ имеет в качестве множителей числа 7, 11 и 13, а значит, оно кратно каждому из этих чисел.

Ответ: Что и требовалось доказать.