Номер 260, страница 51 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 2. Целые выражения. §6. Свойства степени с натуральным показателем - номер 260, страница 51.

Условие.

260. Трамвайные билеты имеют номера от 000 000 до 999 999. Номер называют «счастливым», если сумма трёх его первых цифр равна сумме трёх последних. Докажите, что количество «счастливых» билетов чётно.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Пусть номер трамвайного билета имеет вид $a_1a_2a_3a_4a_5a_6$, где $a_i$ — это цифры от 0 до 9. Номер называется «счастливым», если сумма первых трёх цифр равна сумме последних трёх: $a_1 + a_2 + a_3 = a_4 + a_5 + a_6$.

Рассмотрим произвольный счастливый билет с номером $N$. Сопоставим ему билет с номером $M = 999999 - N$. Покажем, что билет с номером $M$ также является счастливым.

Если номер билета $N$ представлен цифрами $a_1a_2a_3a_4a_5a_6$, то номер $M$ будет представлен цифрами $b_1b_2b_3b_4b_5b_6$, где каждая цифра $b_i = 9 - a_i$. Это следует из того, что при сложении столбиком $N$ и $M$ не происходит переноса разрядов, и в каждом разряде сумма $a_i + b_i$ равна 9.

Сумма первых трёх цифр номера $M$ равна:
$S_1' = b_1 + b_2 + b_3 = (9 - a_1) + (9 - a_2) + (9 - a_3) = 27 - (a_1 + a_2 + a_3)$.

Сумма последних трёх цифр номера $M$ равна:
$S_2' = b_4 + b_5 + b_6 = (9 - a_4) + (9 - a_5) + (9 - a_6) = 27 - (a_4 + a_5 + a_6)$.

Поскольку билет $N$ является счастливым, то по определению $a_1 + a_2 + a_3 = a_4 + a_5 + a_6$. Следовательно, $S_1' = 27 - (a_1 + a_2 + a_3) = 27 - (a_4 + a_5 + a_6) = S_2'$. Это означает, что билет с номером $M$ также является счастливым.

Теперь нужно убедиться, что для любого счастливого билета $N$ соответствующий ему счастливый билет $M$ имеет другой номер, то есть $N \neq M$. Предположим, что $N = M$. Тогда $N = 999999 - N$, что приводит к уравнению $2N = 999999$. Решение этого уравнения $N = 499999.5$ не является целым числом, а значит, не может быть номером билета. Таким образом, никакой билет не может быть парным самому себе.

Мы показали, что все счастливые билеты можно разбить на пары $(N, 999999 - N)$, где $N$ — счастливый билет, и $N \neq 999999 - N$. Поскольку каждый счастливый билет входит ровно в одну такую пару, общее количество счастливых билетов равно удвоенному количеству пар. Следовательно, общее количество счастливых билетов является чётным числом.

Ответ: Утверждение доказано. Все счастливые билеты можно разбить на непересекающиеся пары вида $(N, 999999 - N)$. Так как в каждой паре два различных билета, общее количество счастливых билетов является произведением количества пар на 2, а значит, является чётным числом.