Номер 251, страница 50 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 2. Целые выражения. §6. Свойства степени с натуральным показателем - номер 251, страница 50.

Условие.

251. Докажите, что значение выражения:

1) $4^{40} - 1$;

2) $2004^{171} + 171^{2004}$

делится нацело на 5.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Чтобы доказать, что значение выражения делится нацело на 5, нужно показать, что его последняя цифра равна 0 или 5. Для этого проанализируем последние цифры чисел в каждом из выражений.

1) $4^{40} - 1$

Сначала определим последнюю цифру числа $4^{40}$. Рассмотрим последовательность последних цифр степеней числа 4:

$4^1 = 4$

$4^2 = 16$ (последняя цифра 6)

$4^3 = 64$ (последняя цифра 4)

$4^4 = 256$ (последняя цифра 6)

Можно заметить, что последняя цифра степеней числа 4 циклически повторяется: 4, 6, 4, 6, ...

Если показатель степени — нечетное число, то последняя цифра равна 4.

Если показатель степени — четное число, то последняя цифра равна 6.

В выражении $4^{40}$ показатель степени 40 — четное число, следовательно, число $4^{40}$ оканчивается на 6.

Теперь найдем последнюю цифру разности $4^{40} - 1$. Так как $4^{40}$ оканчивается на 6, то разность $4^{40} - 1$ будет оканчиваться на $6 - 1 = 5$.

Числа, оканчивающиеся на 5, делятся нацело на 5. Следовательно, значение выражения $4^{40} - 1$ делится на 5.

Ответ: Доказано, что $4^{40} - 1$ делится нацело на 5.

2) $2004^{171} + 171^{2004}$

Чтобы определить, делится ли сумма на 5, найдем последнюю цифру каждого слагаемого.

1. Последняя цифра числа $2004^{171}$ определяется последней цифрой его основания, то есть 4. Таким образом, нам нужно найти последнюю цифру числа $4^{171}$.

Как было установлено в предыдущем пункте, последняя цифра степени числа 4 зависит от четности показателя. Поскольку показатель 171 является нечетным числом, число $4^{171}$, а значит и $2004^{171}$, оканчивается на 4.

2. Последняя цифра числа $171^{2004}$ определяется последней цифрой его основания, то есть 1. Любая натуральная степень числа, оканчивающегося на 1, также будет оканчиваться на 1. Следовательно, число $171^{2004}$ оканчивается на 1.

3. Теперь найдем последнюю цифру суммы $2004^{171} + 171^{2004}$. Она равна последней цифре суммы последних цифр слагаемых:

$...4 + ...1 = ...5$

Последняя цифра суммы равна 5. Поскольку число оканчивается на 5, оно делится нацело на 5.

Ответ: Доказано, что $2004^{171} + 171^{2004}$ делится нацело на 5.