Номер 252, страница 50 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 2. Целые выражения. §6. Свойства степени с натуральным показателем - номер 252, страница 50.

Условие.

252. Докажите, что $48^{25} < 344^{17}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Для доказательства неравенства $48^{25} < 344^{17}$ воспользуемся методом сравнения с промежуточными значениями. В качестве таких значений удобно взять степени числа 7, так как основания 48 и 344 близки к степеням этого числа.

Рассмотрим левую часть неравенства, $48^{25}$. Так как $48 < 49$ и $49 = 7^2$, то можно записать следующую оценку:

$48^{25} < 49^{25} = (7^2)^{25} = 7^{2 \cdot 25} = 7^{50}$

Таким образом, мы получили, что $48^{25} < 7^{50}$.

Теперь рассмотрим правую часть неравенства, $344^{17}$. Так как $344 > 343$ и $343 = 7^3$, то получаем оценку:

$344^{17} > 343^{17} = (7^3)^{17} = 7^{3 \cdot 17} = 7^{51}$

Таким образом, $344^{17} > 7^{51}$, или что то же самое, $7^{51} < 344^{17}$.

Теперь у нас есть два неравенства: $48^{25} < 7^{50}$ и $7^{51} < 344^{17}$.

Сравним между собой степени $7^{50}$ и $7^{51}$. Поскольку основание $7 > 1$ и показатель $50 < 51$, то $7^{50} < 7^{51}$.

Объединяя все полученные неравенства, выстраиваем итоговую цепочку:

$48^{25} < 7^{50} < 7^{51} < 344^{17}$

Из этой цепочки неравенств следует, что $48^{25} < 344^{17}$, что и требовалось доказать.

Ответ: Неравенство доказано.