Номер 238, страница 49 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 2. Целые выражения. §6. Свойства степени с натуральным показателем - номер 238, страница 49.

Условие.

238. Вычислите значение выражения:

1) $\left(1\frac{1}{6}\right)^9 \cdot \left(\frac{6}{7}\right)^{10}$;

2) $5^{14} \cdot 0.2^{12}$;

3) $\left(-1\frac{1}{3}\right)^5 \cdot \left(\frac{3}{4}\right)^8$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

1)

Для вычисления значения выражения $(1\frac{1}{6})^9 \cdot (\frac{6}{7})^{10}$ выполним следующие шаги:

1. Преобразуем смешанное число в неправильную дробь:

$1\frac{1}{6} = \frac{1 \cdot 6 + 1}{6} = \frac{7}{6}$

2. Подставим полученную дробь в исходное выражение:

$(\frac{7}{6})^9 \cdot (\frac{6}{7})^{10}$

3. Используем свойство степеней $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$, чтобы разложить второй множитель:

$(\frac{7}{6})^9 \cdot (\frac{6}{7})^{10} = (\frac{7}{6})^9 \cdot (\frac{6}{7})^9 \cdot (\frac{6}{7})^1$

4. Сгруппируем множители с одинаковыми показателями степени, используя свойство $(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n$:

$(\frac{7}{6} \cdot \frac{6}{7})^9 \cdot \frac{6}{7}$

5. Вычислим произведение в скобках. Дроби являются взаимно обратными, их произведение равно 1:

$\frac{7}{6} \cdot \frac{6}{7} = 1$

6. Подставим результат и вычислим конечный ответ:

$1^9 \cdot \frac{6}{7} = 1 \cdot \frac{6}{7} = \frac{6}{7}$

Ответ: $\frac{6}{7}$

2)

Для вычисления значения выражения $5^{14} \cdot 0,2^{12}$ выполним следующие шаги:

1. Представим десятичную дробь 0,2 в виде обыкновенной дроби:

$0,2 = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$

2. Подставим полученную дробь в исходное выражение:

$5^{14} \cdot (\frac{1}{5})^{12}$

3. Используем свойство степеней $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$, чтобы разложить первый множитель:

$5^{14} = 5^{12+2} = 5^{12} \cdot 5^2$

4. Подставим это в выражение:

$5^{12} \cdot 5^2 \cdot (\frac{1}{5})^{12}$

5. Сгруппируем множители с одинаковыми показателями степени, используя свойство $(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n$:

$(5 \cdot \frac{1}{5})^{12} \cdot 5^2$

6. Вычислим произведение в скобках:

$5 \cdot \frac{1}{5} = 1$

7. Подставим результат и вычислим конечный ответ:

$1^{12} \cdot 5^2 = 1 \cdot 25 = 25$

Ответ: $25$

3)

Для вычисления значения выражения $(-1\frac{1}{3})^5 \cdot (\frac{3}{4})^8$ выполним следующие шаги:

1. Преобразуем смешанное число в неправильную дробь:

$-1\frac{1}{3} = -(\frac{1 \cdot 3 + 1}{3}) = -\frac{4}{3}$

2. Подставим полученную дробь в исходное выражение:

$(-\frac{4}{3})^5 \cdot (\frac{3}{4})^8$

3. Так как отрицательное число возводится в нечетную степень (5), результат будет отрицательным:

$(-\frac{4}{3})^5 = -(\frac{4}{3})^5$

Выражение принимает вид:

$-(\frac{4}{3})^5 \cdot (\frac{3}{4})^8$

4. Используем свойство степеней $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$, чтобы разложить второй множитель:

$(\frac{3}{4})^8 = (\frac{3}{4})^5 \cdot (\frac{3}{4})^3$

5. Подставим это в выражение:

$-(\frac{4}{3})^5 \cdot (\frac{3}{4})^5 \cdot (\frac{3}{4})^3$

6. Сгруппируем множители с одинаковыми показателями степени, используя свойство $(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n$:

$-(\frac{4}{3} \cdot \frac{3}{4})^5 \cdot (\frac{3}{4})^3$

7. Вычислим произведение в скобках. Дроби являются взаимно обратными, их произведение равно 1:

$\frac{4}{3} \cdot \frac{3}{4} = 1$

8. Подставим результат и вычислим конечный ответ:

$-(1)^5 \cdot (\frac{3}{4})^3 = -1 \cdot \frac{3^3}{4^3} = -1 \cdot \frac{27}{64} = -\frac{27}{64}$

Ответ: $-\frac{27}{64}$