Номер 239, страница 49 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 2. Целые выражения. §6. Свойства степени с натуральным показателем - номер 239, страница 49.

Условие.

239. Найдите значение выражения:

1) $10^5 \cdot 0.1^7$;

2) $1.9^{14} \cdot \left(\frac{10}{19}\right)^{15}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

1) $10^5 \cdot 0,1^7$

Чтобы найти значение выражения, приведем степени к одному основанию.
Представим десятичную дробь $0,1$ как степень с основанием 10:
$0,1 = \frac{1}{10} = 10^{-1}$.
Подставим это в исходное выражение:
$10^5 \cdot (10^{-1})^7$
Воспользуемся свойством степени $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:
$(10^{-1})^7 = 10^{-1 \cdot 7} = 10^{-7}$.
Теперь выражение имеет вид:
$10^5 \cdot 10^{-7}$
Применим свойство умножения степеней с одинаковым основанием $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:
$10^{5 + (-7)} = 10^{5-7} = 10^{-2}$.
Вычислим полученное значение:
$10^{-2} = \frac{1}{10^2} = \frac{1}{100} = 0,01$.
Ответ: $0,01$.

2) $1,9^{14} \cdot \left(\frac{10}{19}\right)^{15}$

Представим десятичную дробь $1,9$ в виде обыкновенной дроби:
$1,9 = \frac{19}{10}$.
Подставим это значение в выражение:
$\left(\frac{19}{10}\right)^{14} \cdot \left(\frac{10}{19}\right)^{15}$
Распишем второй множитель, используя свойство степени $a^{n+1} = a^n \cdot a^1$:
$\left(\frac{10}{19}\right)^{15} = \left(\frac{10}{19}\right)^{14+1} = \left(\frac{10}{19}\right)^{14} \cdot \frac{10}{19}$.
Выражение примет вид:
$\left(\frac{19}{10}\right)^{14} \cdot \left(\frac{10}{19}\right)^{14} \cdot \frac{10}{19}$
Сгруппируем множители с одинаковым показателем степени, используя свойство $a^n \cdot b^n = (a \cdot b)^n$:
$\left(\frac{19}{10} \cdot \frac{10}{19}\right)^{14} \cdot \frac{10}{19}$
Выполним умножение в скобках. Дроби $\frac{19}{10}$ и $\frac{10}{19}$ являются взаимно обратными, поэтому их произведение равно 1.
$\frac{19}{10} \cdot \frac{10}{19} = 1$.
Получаем выражение:
$1^{14} \cdot \frac{10}{19}$
Единица в любой степени равна единице ($1^{14} = 1$).
$1 \cdot \frac{10}{19} = \frac{10}{19}$.
Ответ: $\frac{10}{19}$.