Номер 868, страница 169 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 3. Функции. §23. Линейная функция, её график и свойства - номер 868, страница 169.

Условие.

868. Постройте в одной системе координат графики функций $y = x - 1$ и $y = \frac{1}{4}x + 2$ и найдите координаты точки их пересечения.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Задача состоит из двух частей: построение графиков двух линейных функций и нахождение координат их точки пересечения.

1. Построение графиков

Обе функции, $y = x - 1$ и $y = \frac{1}{4}x + 2$, являются линейными, а их графики — прямые линии. Для построения прямой достаточно найти координаты двух любых точек, принадлежащих этой прямой.

Для функции $y = x - 1$:

• При $x = 0$, $y = 0 - 1 = -1$. Получаем точку $(0; -1)$.
• При $x = 2$, $y = 2 - 1 = 1$. Получаем точку $(2; 1)$.

Для функции $y = \frac{1}{4}x + 2$ (для удобства вычислений выберем значения $x$, кратные 4):

• При $x = 0$, $y = \frac{1}{4} \cdot 0 + 2 = 2$. Получаем точку $(0; 2)$.
• При $x = 4$, $y = \frac{1}{4} \cdot 4 + 2 = 1 + 2 = 3$. Получаем точку $(4; 3)$.

Отметив эти пары точек на координатной плоскости и соединив их прямыми, мы получим графики заданных функций.

2. Нахождение координат точки пересечения

Координаты точки пересечения можно найти, решив систему уравнений:

$\begin{cases} y = x - 1 \\ y = \frac{1}{4}x + 2 \end{cases}$

Поскольку в точке пересечения значения $y$ равны, приравняем правые части уравнений:

$x - 1 = \frac{1}{4}x + 2$

Теперь решим это уравнение, чтобы найти абсциссу ($x$) точки пересечения:

$x - \frac{1}{4}x = 2 + 1$

$\frac{3}{4}x = 3$

Чтобы найти $x$, умножим обе части уравнения на $\frac{4}{3}$:

$x = 3 \cdot \frac{4}{3}$

$x = 4$

Теперь найдем ординату ($y$) точки пересечения, подставив найденное значение $x=4$ в любое из исходных уравнений. Возьмем первое уравнение, так как оно проще:

$y = x - 1 = 4 - 1 = 3$

Таким образом, графики пересекаются в точке с координатами $(4; 3)$.

Ответ: Координаты точки пересечения $(4; 3)$.