Номер 892, страница 171 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 3. Функции. §23. Линейная функция, её график и свойства - номер 892, страница 171.

Условие.

892. Периметр прямоугольника ABCD равен 12, $AB = x$, $AD = y$, $0 < x < 6$.

Постройте график зависимости $y$ от $x$. Отметьте на этом графике

точку, соответствующую случаю, когда прямоугольник ABCD является квадратом.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Периметр прямоугольника $ABCD$ вычисляется по формуле $P = 2(l + w)$, где $l$ и $w$ — длины его смежных сторон. По условию задачи, периметр равен 12, а стороны равны $AB = x$ и $AD = y$.

Подставим известные значения в формулу периметра:
$12 = 2(x + y)$
Чтобы найти зависимость между сторонами, разделим обе части уравнения на 2:
$6 = x + y$
Теперь выразим $y$ как функцию от $x$:
$y = 6 - x$

Полученная зависимость является линейной функцией, графиком которой является прямая. Однако в условии задано ограничение на значение $x$: $0 < x < 6$. Это означает, что график нашей зависимости — это не вся прямая, а только ее отрезок.

Для построения этого отрезка найдем его конечные точки. Так как неравенства в условии строгие ($0 < x < 6$), сами конечные точки не будут принадлежать графику (на чертеже их принято изображать "выколотыми" или пустыми кружками).
Найдем координаты конечных точек:
- если $x$ стремится к 0, то $y$ стремится к $6 - 0 = 6$. Координаты первой конечной точки — $(0, 6)$.
- если $x$ стремится к 6, то $y$ стремится к $6 - 6 = 0$. Координаты второй конечной точки — $(6, 0)$.
Таким образом, график функции $y = 6 - x$ при $0 < x < 6$ — это отрезок прямой, соединяющий точки $(0, 6)$ и $(6, 0)$, не включая сами эти точки.

Далее, нам нужно отметить на этом графике точку, которая соответствует случаю, когда прямоугольник $ABCD$ является квадратом. Прямоугольник является квадратом, если его смежные стороны равны, то есть $x = y$.

Для нахождения координат этой точки необходимо решить систему уравнений, состоящую из зависимости сторон и условия их равенства:
$ \begin{cases} y = 6 - x \\ y = x \end{cases} $
Подставив $y = x$ в первое уравнение, получим:
$x = 6 - x$
$2x = 6$
$x = 3$

Поскольку $y=x$, то $y$ также равно 3. Следовательно, искомая точка имеет координаты $(3, 3)$. Эта точка лежит на построенном отрезке, так как значение $x=3$ удовлетворяет условию $0 < 3 < 6$.

Ответ: Графиком зависимости $y$ от $x$ является отрезок прямой $y=6-x$, соединяющий точки $(0, 6)$ и $(6, 0)$, не включая концы отрезка. Точка на этом графике, соответствующая случаю, когда прямоугольник $ABCD$ является квадратом, имеет координаты $(3, 3)$.