Номер 895, страница 172 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 3. Функции. §23. Линейная функция, её график и свойства - номер 895, страница 172.

Условие.

895. Постройте график функции:

1) $y = |x|$;

2) $y = |x| + x$;

3) $y = 4x - |x| + 2$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

1) $y = |x|$

Для построения графика функции, содержащей модуль, необходимо раскрыть модуль по его определению: $|x| = x$, если $x \ge 0$, и $|x| = -x$, если $x < 0$. Таким образом, данную функцию можно представить в виде кусочно-заданной функции: $y = \begin{cases} x, & \text{если } x \ge 0 \\ -x, & \text{если } x < 0 \end{cases}$

График этой функции состоит из двух частей. Для $x \ge 0$ график совпадает с графиком функции $y=x$. Это луч, являющийся биссектрисой первого координатного угла, выходящий из начала координат (0,0). Для $x < 0$ график совпадает с графиком функции $y=-x$. Это луч, являющийся биссектрисой второго координатного угла, также выходящий из начала координат (0,0). В результате объединения этих двух лучей получается график в виде "галочки" с вершиной в точке (0,0).

Ответ: График функции $y=|x|$ — это объединение двух лучей, $y=x$ при $x \ge 0$ и $y=-x$ при $x < 0$, с общей вершиной в начале координат.

2) $y = |x| + x$

Раскроем модуль, рассмотрев два случая. Если $x \ge 0$, то $|x| = x$, и функция принимает вид: $y = x + x = 2x$. Если $x < 0$, то $|x| = -x$, и функция принимает вид: $y = -x + x = 0$. Таким образом, функция может быть записана как: $y = \begin{cases} 2x, & \text{если } x \ge 0 \\ 0, & \text{если } x < 0 \end{cases}$

График функции состоит из двух лучей, исходящих из точки (0,0). При $x \ge 0$ это луч $y=2x$. Для его построения, кроме начала координат (0,0), можно взять точку (1,2). При $x < 0$ это луч $y=0$, который совпадает с отрицательной частью оси абсцисс.

Ответ: График функции состоит из луча $y=0$ при $x<0$ (отрицательная полуось Ox) и луча $y=2x$ при $x \ge 0$.

3) $y = 4x - |x| + 2$

Раскроем модуль, рассмотрев два промежутка. Если $x \ge 0$, то $|x| = x$. Функция принимает вид: $y = 4x - x + 2 = 3x + 2$. Если $x < 0$, то $|x| = -x$. Функция принимает вид: $y = 4x - (-x) + 2 = 5x + 2$. Запишем функцию в кусочном виде: $y = \begin{cases} 3x + 2, & \text{если } x \ge 0 \\ 5x + 2, & \text{если } x < 0 \end{cases}$

График этой функции состоит из двух лучей, которые встречаются в одной точке. Найдем эту точку "излома", подставив $x=0$ в первое выражение: $y = 3(0) + 2 = 2$. Вершина находится в точке (0,2). Для $x \ge 0$ строим луч $y=3x+2$. Он начинается в точке (0,2) и проходит, например, через точку (1,5). Для $x < 0$ строим луч $y=5x+2$. Он также заканчивается в точке (0,2) и проходит, например, через точку (-1,-3).

Ответ: График функции — это ломаная линия, состоящая из двух лучей с общей вершиной в точке (0,2): луча $y=5x+2$ при $x < 0$ и луча $y=3x+2$ при $x \ge 0$.