Номер 896, страница 172 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 3. Функции. §23. Линейная функция, её график и свойства - номер 896, страница 172.

Условие.

896. Постройте график функции:

1) $y = -|x|$;

2) $y = x - |x|$;

3) $y = 3x + 2|x|.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

1) $y = -|x|$

Для построения графика функции, содержащей модуль, необходимо раскрыть модуль по его определению. Определение модуля переменной $x$:

$|x| = \begin{cases} x, & \text{если } x \ge 0 \\ -x, & \text{если } x < 0 \end{cases}$

Исходя из этого, функцию $y = -|x|$ можно представить в виде кусочно-заданной функции, рассмотрев два случая.

Случай 1: $x \ge 0$.

В этом случае $|x| = x$, и функция принимает вид $y = -x$. Графиком является луч прямой $y = -x$, начинающийся в точке $(0, 0)$ и проходящий через, например, точку $(2, -2)$.

Случай 2: $x < 0$.

В этом случае $|x| = -x$, и функция принимает вид $y = -(-x) = x$. Графиком является луч прямой $y = x$, начинающийся в точке $(0, 0)$ и проходящий через, например, точку $(-2, -2)$.

Итак, получаем систему:

$y = \begin{cases} -x, & \text{если } x \ge 0 \\ x, & \text{если } x < 0 \end{cases}$

График функции представляет собой объединение двух лучей, выходящих из вершины в точке $(0, 0)$. Он симметричен относительно оси Oy и является графиком функции $y = |x|$, отраженным относительно оси Ox.

Ответ: График функции $y = -|x|$ состоит из двух лучей: $y = -x$ для $x \ge 0$ и $y = x$ для $x < 0$. Вершина графика находится в точке $(0, 0)$.

2) $y = x - |x|$

Раскроем модуль, чтобы представить функцию в кусочно-заданном виде.

Случай 1: $x \ge 0$.

При $x \ge 0$ имеем $|x| = x$. Функция принимает вид:

$y = x - x = 0$

Графиком на этом промежутке является луч, совпадающий с положительной полуосью Ox, включая начало координат.

Случай 2: $x < 0$.

При $x < 0$ имеем $|x| = -x$. Функция принимает вид:

$y = x - (-x) = 2x$

Графиком на этом промежутке является луч прямой $y = 2x$, расположенный в третьей координатной четверти. Он выходит из начала координат $(0, 0)$ и проходит, например, через точку $(-1, -2)$.

Таким образом, график функции $y = x - |x|$ задается системой:

$y = \begin{cases} 0, & \text{если } x \ge 0 \\ 2x, & \text{если } x < 0 \end{cases}$

График состоит из двух лучей, выходящих из общей точки $(0, 0)$.

Ответ: График функции $y = x - |x|$ состоит из луча $y = 0$ при $x \ge 0$ и луча $y = 2x$ при $x < 0$.

3) $y = 3x + 2|x|$

Снова рассмотрим два случая в зависимости от знака $x$.

Случай 1: $x \ge 0$.

При $x \ge 0$ имеем $|x| = x$. Функция принимает вид:

$y = 3x + 2x = 5x$

Графиком на этом промежутке является луч прямой $y = 5x$, расположенный в первой координатной четверти. Он выходит из начала координат $(0, 0)$ и проходит, например, через точку $(1, 5)$.

Случай 2: $x < 0$.

При $x < 0$ имеем $|x| = -x$. Функция принимает вид:

$y = 3x + 2(-x) = 3x - 2x = x$

Графиком на этом промежутке является луч прямой $y = x$, расположенный в третьей координатной четверти. Он выходит из начала координат $(0, 0)$ и проходит, например, через точку $(-2, -2)$.

Таким образом, функция может быть записана как:

$y = \begin{cases} 5x, & \text{если } x \ge 0 \\ x, & \text{если } x < 0 \end{cases}$

График состоит из двух лучей с разными угловыми коэффициентами, выходящих из точки $(0, 0)$.

Ответ: График функции $y = 3x + 2|x|$ состоит из луча $y = 5x$ при $x \ge 0$ и луча $y = x$ при $x < 0$. Вершина графика находится в точке $(0, 0)$.