Номер 902, страница 173 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 3. Функции. §23. Линейная функция, её график и свойства - номер 902, страница 173.

Условие.

902. Докажите, что сумма кубов трёх последовательных натуральных чисел делится нацело на 3.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Пусть даны три последовательных натуральных числа. Обозначим их как $n$, $n+1$ и $n+2$, где $n$ — любое натуральное число ($n \ge 1$).

Найдём сумму кубов этих чисел:

$S = n^3 + (n+1)^3 + (n+2)^3$

Используем формулу куба суммы $(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$ для раскрытия скобок:

$(n+1)^3 = n^3 + 3 \cdot n^2 \cdot 1 + 3 \cdot n \cdot 1^2 + 1^3 = n^3 + 3n^2 + 3n + 1$

$(n+2)^3 = n^3 + 3 \cdot n^2 \cdot 2 + 3 \cdot n \cdot 2^2 + 2^3 = n^3 + 6n^2 + 12n + 8$

Теперь подставим эти выражения в исходную сумму:

$S = n^3 + (n^3 + 3n^2 + 3n + 1) + (n^3 + 6n^2 + 12n + 8)$

Сгруппируем и приведём подобные слагаемые:

$S = (n^3 + n^3 + n^3) + (3n^2 + 6n^2) + (3n + 12n) + (1 + 8)$

$S = 3n^3 + 9n^2 + 15n + 9$

Вынесем общий множитель 3 за скобки:

$S = 3(n^3 + 3n^2 + 5n + 3)$

Поскольку $n$ является натуральным числом, то выражение в скобках $n^3 + 3n^2 + 5n + 3$ является целым числом. Следовательно, вся сумма $S$ является произведением числа 3 и целого числа, а это означает, что она делится на 3 без остатка.

Таким образом, мы доказали, что сумма кубов трёх последовательных натуральных чисел всегда делится нацело на 3.

Ответ: Что и требовалось доказать.