Номер 908, страница 174 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 3. Функции. §23. Линейная функция, её график и свойства - номер 908, страница 174.

Условие.

908. Есть два печатных автомата. Первый по карточке с числами $(a; b; c)$ выдаёт карточку с числами $\left(\frac{a+b}{2} ; \frac{b+c}{2} ; \frac{a+c}{2}\right)$, а второй по карточке с числами $(a; b; c)$ — карточку с числами $(2a - b; 2b - c; 2c - a)$. Можно ли с помощью этих автоматов из карточки $(2,8; -1,7; 16)$ получить карточку $(1,73; 2; 0,4)$?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Чтобы определить, можно ли из одной карточки получить другую, найдем свойство, которое не меняется (является инвариантом) при преобразовании карточки любым из двух автоматов. Таким свойством является сумма трех чисел на карточке.

Пусть исходная карточка содержит числа $(a; b; c)$. Их сумма равна $S = a + b + c$.

Проверка для первого автомата.
Первый автомат заменяет карточку $(a; b; c)$ на карточку с числами $\left(\frac{a+b}{2}; \frac{b+c}{2}; \frac{a+c}{2}\right)$.
Найдем сумму чисел на новой карточке:
$S' = \frac{a+b}{2} + \frac{b+c}{2} + \frac{a+c}{2} = \frac{a+b+b+c+a+c}{2} = \frac{2a+2b+2c}{2} = a+b+c = S$.
Как видим, сумма чисел не изменилась.

Проверка для второго автомата.
Второй автомат заменяет карточку $(a; b; c)$ на карточку с числами $(2a-b; 2b-c; 2c-a)$.
Найдем сумму чисел на этой новой карточке:
$S'' = (2a-b) + (2b-c) + (2c-a) = 2a-a+2b-b+2c-c = a+b+c = S$.
Сумма чисел также не изменилась.

Таким образом, при любом количестве преобразований с помощью любого из автоматов сумма чисел на карточке должна оставаться постоянной. Проверим это условие для заданных карточек.

Сумма чисел на исходной карточке $(2,8; -1,7; 16)$ равна:
$S_{исходная} = 2,8 + (-1,7) + 16 = 1,1 + 16 = 17,1$.

Сумма чисел на целевой карточке $(1,73; 2; 0,4)$ равна:
$S_{целевая} = 1,73 + 2 + 0,4 = 4,13$.

Так как $S_{исходная} \neq S_{целевая}$ ($17,1 \neq 4,13$), то получить из исходной карточки целевую с помощью данных автоматов невозможно.

Ответ: нет, нельзя.