Номер 905, страница 173 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 3. Функции. §23. Линейная функция, её график и свойства - номер 905, страница 173.

Условие.

905. Докажите, что при любом значении x значение выражения $|x| - x$ больше соответствующего значения выражения $2x - x^2 - 2$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Требуется доказать, что при любом значении $x$ выполняется неравенство $|x| - x > 2x - x^2 - 2$.

Для доказательства перенесем все члены неравенства в левую часть:

$|x| - x - (2x - x^2 - 2) > 0$

$x^2 - 3x + 2 + |x| > 0$

Рассмотрим два случая в зависимости от знака $x$, чтобы раскрыть модуль.

Случай 1: $x \ge 0$

Если $x$ неотрицательно, то по определению модуля $|x| = x$. Подставим это значение в исходное неравенство:

$x - x > 2x - x^2 - 2$

$0 > 2x - x^2 - 2$

Перенесем все члены в левую часть:

$x^2 - 2x + 2 > 0$

Чтобы проанализировать это квадратичное выражение, выделим полный квадрат:

$(x^2 - 2x + 1) + 1 > 0$

$(x - 1)^2 + 1 > 0$

Выражение $(x - 1)^2$ всегда больше или равно нулю для любого действительного $x$. Следовательно, наименьшее значение левой части равно $0 + 1 = 1$, что больше нуля. Таким образом, неравенство $(x - 1)^2 + 1 > 0$ верно при любых значениях $x$, в том числе и при $x \ge 0$.

Случай 2: $x < 0$

Если $x$ отрицательно, то по определению модуля $|x| = -x$. Подставим это значение в исходное неравенство:

$-x - x > 2x - x^2 - 2$

$-2x > 2x - x^2 - 2$

Перенесем все члены в левую часть:

$x^2 - 2x - 2x + 2 > 0$

$x^2 - 4x + 2 > 0$

Рассмотрим квадратичную функцию $y(x) = x^2 - 4x + 2$. Это парабола, ветви которой направлены вверх. Найдем ее корни, решив уравнение $x^2 - 4x + 2 = 0$.

Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 16 - 8 = 8$.

Корни уравнения: $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 \pm \sqrt{8}}{2} = \frac{4 \pm 2\sqrt{2}}{2} = 2 \pm \sqrt{2}$.

Оба корня $x_1 = 2 - \sqrt{2}$ и $x_2 = 2 + \sqrt{2}$ являются положительными числами (поскольку $\sqrt{2} \approx 1.414 < 2$).

Так как ветви параболы направлены вверх, неравенство $x^2 - 4x + 2 > 0$ выполняется при $x < x_1$ и $x > x_2$, то есть при $x < 2 - \sqrt{2}$ и $x > 2 + \sqrt{2}$.

В данном случае мы рассматриваем только $x < 0$. Поскольку $0 < 2 - \sqrt{2}$, все значения $x < 0$ удовлетворяют условию $x < 2 - \sqrt{2}$, и, следовательно, для них неравенство $x^2 - 4x + 2 > 0$ является верным.

Поскольку мы доказали, что неравенство выполняется как для $x \ge 0$, так и для $x < 0$, оно верно для любого действительного значения $x$.

Ответ: Утверждение доказано. Неравенство $|x| - x > 2x - x^2 - 2$ справедливо для всех действительных чисел $x$.