Номер 899, страница 173 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 3. Функции. §23. Линейная функция, её график и свойства - номер 899, страница 173.

Условие.

899. Функция задана описательно: значение функции равно разности между значением аргумента и целой частью аргумента¹. Постройте график этой функции.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Согласно условию задачи, значение функции $y$ равно разности между значением аргумента $x$ и его целой частью. Целая часть числа $x$ — это наибольшее целое число, не превосходящее $x$. Стандартное обозначение для целой части числа $x$ — это $[x]$ или $\lfloor x \rfloor$.

Таким образом, функция задается следующей формулой:
$y = x - [x]$
Эта функция также известна как "дробная часть числа" и иногда обозначается как $\{x\}$.

Для того чтобы построить график этой функции, проанализируем её поведение на различных числовых промежутках. Функция $[x]$ является кусочно-постоянной и меняет свое значение в целых точках. Поэтому рассмотрим промежутки вида $[n, n+1)$, где $n$ — любое целое число.

• На промежутке $x \in [0, 1)$, целая часть $[x] = 0$. Следовательно, функция имеет вид $y = x - 0 = x$. Графиком на этом интервале является отрезок прямой $y=x$, который начинается в точке $(0, 0)$ и заканчивается в точке $(1, 1)$. При этом точка $(0, 0)$ принадлежит графику, а точка $(1, 1)$ — нет (она будет выколота).
• На промежутке $x \in [1, 2)$, целая часть $[x] = 1$. Следовательно, функция имеет вид $y = x - 1$. Это линейная функция, график которой — отрезок, полученный сдвигом отрезка $y=x$ на 1 единицу вправо. Он начинается в точке $(1, 0)$ (включительно) и заканчивается в точке $(2, 1)$ (исключительно).
• На промежутке $x \in [2, 3)$, целая часть $[x] = 2$. Функция имеет вид $y = x - 2$. График — отрезок от точки $(2, 0)$ (включительно) до точки $(3, 1)$ (исключительно).
• На промежутке $x \in [-1, 0)$, целая часть $[x] = -1$. Функция имеет вид $y = x - (-1) = x + 1$. График — отрезок от точки $(-1, 0)$ (включительно) до точки $(0, 1)$ (исключительно).

Обобщая, можно заключить, что для любого целого $n$, на промежутке $[n, n+1)$ график функции $y = x - [x]$ совпадает с графиком функции $y = x - n$.

График функции представляет собой бесконечную последовательность параллельных отрезков с наклоном 1. Каждый отрезок начинается на оси $Ox$ в точке с целой абсциссой $n$ (точка $(n, 0)$) и поднимается до высоты $y=1$ в точке со следующей целой абсциссой $n+1$ (точка $(n+1, 1)$). Начальные точки отрезков $(n, 0)$ принадлежат графику (закрашенные точки), а конечные точки $(n+1, 1)$ — не принадлежат (выколотые точки). Такой график часто называют "пилой". Область значений функции — промежуток $[0, 1)$.

Ответ: График функции $y = x - [x]$ представляет собой совокупность параллельных отрезков. Для каждого целого числа $n$ на промежутке $[n, n+1)$ график совпадает с отрезком прямой $y = x - n$. Начало каждого такого отрезка в точке $(n, 0)$ принадлежит графику, а его конец в точке $(n+1, 1)$ — не принадлежит.