Номер 894, страница 172 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 3. Функции. §23. Линейная функция, её график и свойства - номер 894, страница 172.

Условие.

894. Постройте график функции:

1) $y = \begin{cases} -3x, & \text{если } x \leq -1, \\ 3, & \text{если } -1 < x < 1, \\ 2x+1, & \text{если } x \geq 1; \end{cases}$

2) $y = \begin{cases} 5-x, & \text{если } x \leq 3, \\ x+1, & \text{если } x > 3. \end{cases}$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

1)

Для построения графика данной кусочно-заданной функции необходимо построить график для каждого из трех интервалов.

На промежутке $x \le -1$ строим график функции $y = -3x$. Это линейная функция, графиком которой является луч. Найдем координаты его начальной точки: при $x = -1$, $y = -3(-1) = 3$. Точка $(-1, 3)$ принадлежит графику. Для построения луча возьмем еще одну точку, например, при $x = -2$, $y = -3(-2) = 6$. Получаем точку $(-2, 6).

На промежутке $-1 < x < 1$ строим график функции $y = 3$. Это постоянная функция, ее график – горизонтальный отрезок прямой, концы которого не входят в график. Концами отрезка являются точки $(-1, 3)$ и $(1, 3)$, которые следует отметить на графике как "выколотые".

На промежутке $x \ge 1$ строим график функции $y = 2x + 1$. Это линейная функция, графиком которой является луч. Найдем координаты его начальной точки: при $x = 1$, $y = 2(1) + 1 = 3$. Точка $(1, 3)$ принадлежит графику. Для построения луча возьмем еще одну точку, например, при $x = 2$, $y = 2(2) + 1 = 5$. Получаем точку $(2, 5)$.

Объединяем все три части на одной координатной плоскости. Так как значение функции в точке $x = -1$ для первой части равно $3$, а предел для второй части при $x \to -1$ также равен $3$, то в этой точке разрыва нет. Аналогично, в точке $x = 1$ значение функции для третьей части равно $3$, а предел для второй части при $x \to 1$ также равен $3$. Следовательно, график является непрерывной линией.

Ответ: График функции представляет собой непрерывную ломаную линию, состоящую из трех частей. Первая часть — луч, идущий из точки $(-1, 3)$ через точку $(-2, 6)$. Вторая часть — горизонтальный отрезок, соединяющий точки $(-1, 3)$ и $(1, 3)$. Третья часть — луч, выходящий из точки $(1, 3)$ и проходящий через точку $(2, 5)$.

2)

Для построения графика данной кусочно-заданной функции необходимо построить график для каждого из двух интервалов.

На промежутке $x \le 3$ строим график функции $y = 5 - x$. Это линейная функция, ее график – луч. Найдем координаты конечной точки луча: при $x = 3$, $y = 5 - 3 = 2$. Точка $(3, 2)$ принадлежит графику. Для построения луча возьмем еще одну точку, например, при $x = 0$, $y = 5 - 0 = 5$. Получаем точку $(0, 5)$.

На промежутке $x > 3$ строим график функции $y = x + 1$. Это линейная функция, ее график – луч. Найдем координаты его начальной точки, которая не будет принадлежать графику: при $x$, стремящемся к $3$, $y$ стремится к $3 + 1 = 4$. Точка $(3, 4)$ является "выколотой". Для построения луча возьмем еще одну точку, например, при $x = 4$, $y = 4 + 1 = 5$. Получаем точку $(4, 5)$.

Объединяем обе части на одной координатной плоскости. В точке $x = 3$ функция имеет разрыв, так как значение функции слева ($y=2$) не совпадает со значением, к которому стремится функция справа ($y \to 4$).

Ответ: График функции состоит из двух лучей. Первый луч является частью прямой $y=5-x$, он проходит через точку $(0,5)$ и заканчивается в точке $(3,2)$, которая включена в график. Второй луч является частью прямой $y=x+1$, он начинается в "выколотой" точке $(3,4)$ и проходит через точку $(4,5)$. В точке $x=3$ функция имеет разрыв типа "скачок".