Номер 893, страница 172 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 3. Функции. §23. Линейная функция, её график и свойства - номер 893, страница 172.

Условие.

893. Постройте график функции:

1) $y = \begin{cases} x - 4, & \text{если } x \ge 0 \\ -2x - 4, & \text{если } x < 0 \end{cases}$

2) $y = \begin{cases} 3x - 2, & \text{если } x \le 1 \\ 1, & \text{если } x > 1 \end{cases}$

3) $y = \begin{cases} 2, & \text{если } x \ne 2 \\ 3, & \text{если } x = 2 \end{cases}$

4) $y = \begin{cases} 2x, & \text{если } x < -1 \\ 1, & \text{если } x = -1 \\ x + 3, & \text{если } x > -1 \end{cases}$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

1)

Данная функция является кусочно-линейной. Она задана двумя формулами для разных промежутков.

При $x \ge 0$ график функции совпадает с графиком функции $y = x - 4$. Это прямая. Для ее построения достаточно двух точек. Возьмем граничную точку $x = 0$, тогда $y = 0 - 4 = -4$. Получаем точку $(0, -4)$. Возьмем еще одну точку из этого промежутка, например, $x = 4$, тогда $y = 4 - 4 = 0$. Получаем точку $(4, 0)$. На координатной плоскости строим луч, выходящий из точки $(0, -4)$ и проходящий через точку $(4, 0)$.

При $x < 0$ график функции совпадает с графиком функции $y = -2x - 4$. Это также прямая. Найдем две точки. Возьмем граничную точку $x = 0$. Хотя она не входит в данный промежуток, мы можем найти, к какому значению $y$ стремится функция: $y = -2(0) - 4 = -4$. То есть, график подходит к точке $(0, -4)$. Возьмем еще одну точку, например, $x = -2$, тогда $y = -2(-2) - 4 = 4 - 4 = 0$. Получаем точку $(-2, 0)$. На координатной плоскости строим луч, выходящий из точки $(0, -4)$ (сама точка принадлежит первому лучу) и проходящий через точку $(-2, 0)$ в область $x < 0$.

Объединив два луча, получаем искомый график.

Ответ: График функции состоит из двух лучей, исходящих из одной точки $(0, -4)$. Первый луч для $x \ge 0$ проходит через точку $(4, 0)$. Второй луч для $x < 0$ проходит через точку $(-2, 0)$.

2)

Данная функция является кусочно-линейной.

При $x \le 1$ график функции совпадает с графиком функции $y = 3x - 2$. Это прямая. Для ее построения найдем две точки. Возьмем граничную точку $x = 1$, тогда $y = 3(1) - 2 = 1$. Получаем точку $(1, 1)$. Возьмем еще одну точку, например, $x = 0$, тогда $y = 3(0) - 2 = -2$. Получаем точку $(0, -2)$. На координатной плоскости строим луч, проходящий через точку $(0, -2)$ и заканчивающийся в точке $(1, 1)$.

При $x > 1$ график функции совпадает с графиком функции $y = 1$. Это горизонтальная прямая. Она начинается от точки с абсциссой $x = 1$, но сама точка $(1, 1)$ в этот промежуток не входит. Мы рисуем горизонтальный луч, выходящий из точки $(1, 1)$ и идущий вправо.

Так как в точке $x = 1$ значения обоих частей функции совпадают (равны 1), то график является непрерывной линией.

Ответ: График состоит из двух лучей, сходящихся в точке $(1, 1)$. Для $x \le 1$ это луч прямой $y = 3x - 2$, проходящий через $(0, -2)$ и $(1, 1)$. Для $x > 1$ это горизонтальный луч $y = 1$, выходящий из точки $(1, 1)$ вправо.

3)

График этой функции состоит из двух частей.

Первая часть задается условием $y = 2$, если $x \ne 2$. Это вся горизонтальная прямая $y = 2$, за исключением одной точки. В точке, где $x = 2$, на прямой будет разрыв (так называемая "выколотая" точка). Координаты этой выколотой точки — $(2, 2)$.

Вторая часть задается условием $y = 3$, если $x = 2$. Это всего одна точка с координатами $(2, 3)$.

Таким образом, мы строим горизонтальную прямую $y = 2$, на ней отмечаем выколотую точку $(2, 2)$ и отдельно отмечаем точку $(2, 3)$.

Ответ: График функции — это горизонтальная прямая $y=2$ с выколотой точкой $(2, 2)$ и изолированная точка $(2, 3)$.

4)

Данная функция является кусочно-заданной и состоит из трех частей.

При $x < -1$ график совпадает с графиком функции $y = 2x$. Это прямая. Возьмем граничную точку $x = -1$, тогда $y = 2(-1) = -2$. Так как неравенство строгое ($x < -1$), точка $(-1, -2)$ не принадлежит графику (будет выколотой). Возьмем еще одну точку, например, $x = -2$, тогда $y = 2(-2) = -4$. Строим луч, который выходит из точки $(-1, -2)$ и проходит через точку $(-2, -4)$ в область $x < -1$.

При $x = -1$ функция принимает значение $y = 1$. Это одна изолированная точка с координатами $(-1, 1)$.

При $x > -1$ график совпадает с графиком функции $y = x + 3$. Это прямая. Возьмем граничную точку $x = -1$, тогда $y = -1 + 3 = 2$. Точка $(-1, 2)$ не принадлежит графику (будет выколотой), так как неравенство строгое. Возьмем еще одну точку, например, $x = 0$, тогда $y = 0 + 3 = 3$. Строим луч, который выходит из точки $(-1, 2)$ и проходит через точку $(0, 3)$ в область $x > -1$.

Ответ: График функции состоит из трех частей:
1. Луч прямой $y=2x$, начинающийся из выколотой точки $(-1, -2)$ и идущий влево-вниз.
2. Изолированная точка $(-1, 1)$.
3. Луч прямой $y=x+3$, начинающийся из выколотой точки $(-1, 2)$ и идущий вправо-вверх.