Номер 3.43, страница 21, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

Решите задачу, выделяя три этапа математического моделирования:

3.43 На двух садовых участках растут 84 яблони. Если с первого участка пересадить на второй одну яблоню, то на втором участке будет в 3 раза больше яблонь, чем останется на первом. Сколько яблонь на каждом участке?

1. Составление математической модели

Первый этап решения задачи — это перевод её условий на язык математики. Для этого введем переменные и составим уравнения, которые описывают связи между известными и неизвестными величинами.

Пусть $x$ — первоначальное количество яблонь на первом садовом участке.

Пусть $y$ — первоначальное количество яблонь на втором садовом участке.

Согласно условию, на двух участках всего растет 84 яблони. Это можно записать в виде первого уравнения: $x + y = 84$

Далее, по условию, если с первого участка пересадить на второй одну яблоню, то:

• на первом участке останется $(x - 1)$ яблонь;
• на втором участке станет $(y + 1)$ яблонь.

После этого на втором участке станет в 3 раза больше яблонь, чем на первом. Это дает нам второе уравнение: $y + 1 = 3(x - 1)$

Таким образом, мы получили систему из двух линейных уравнений с двумя переменными, которая является математической моделью данной задачи.

Ответ: Математическая модель задачи представляет собой систему уравнений: $ \begin{cases} x + y = 84 \\ y + 1 = 3(x - 1) \end{cases} $

2. Работа с математической моделью

Второй этап — решение составленной системы уравнений для нахождения значений неизвестных переменных.

Исходная система: $ \begin{cases} x + y = 84 \\ y + 1 = 3(x - 1) \end{cases} $

Сначала упростим второе уравнение, раскрыв скобки: $y + 1 = 3x - 3$

Выразим $y$ из первого уравнения: $y = 84 - x$

Подставим это выражение для $y$ во второе (упрощенное) уравнение: $(84 - x) + 1 = 3x - 3$

Теперь решим полученное уравнение относительно $x$: $85 - x = 3x - 3$ $85 + 3 = 3x + x$ $88 = 4x$ $x = \frac{88}{4}$ $x = 22$

Найдем значение $y$, подставив найденное значение $x=22$ в выражение $y = 84 - x$: $y = 84 - 22$ $y = 62$

Итак, решение системы уравнений: $x = 22$, $y = 62$.

Ответ: В результате решения математической модели получены значения переменных: $x=22$, $y=62$.

3. Ответ на вопрос задачи

Третий этап — это интерпретация полученного математического решения в контексте исходной задачи и формулировка окончательного ответа.

Мы определили, что $x$ — это количество яблонь на первом участке, а $y$ — на втором.

Следовательно, на первом участке первоначально было 22 яблони, а на втором — 62 яблони.

Проверим, соответствует ли это условиям задачи:

• Общее количество яблонь: $22 + 62 = 84$. Это соответствует условию.
• После пересадки одной яблони с первого участка на второй:
  • На первом участке останется: $22 - 1 = 21$ яблоня.
  • На втором участке станет: $62 + 1 = 63$ яблони.
• Проверим соотношение: $63 = 3 \cdot 21$. Количество яблонь на втором участке действительно стало в 3 раза больше, чем на первом. Это также соответствует условию.

Все условия задачи выполняются, значит, решение найдено верно.

Ответ: Первоначально на первом участке было 22 яблони, а на втором — 62 яблони.