Номер 4.29, страница 25, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 4. Линейное уравнение с одной переменной. Глава 1. Математический язык. Математическая модель. Часть 2 - номер 4.29, страница 25.

Условие.

4.29 Из пункта А выехал автобус. Через полчаса вслед за ним из пункта В, отстоящего от пункта А на 6 км, выехал автомобиль и через 45 мин догнал автобус. На каком расстоянии от пункта А автомобиль догнал автобус, если его скорость на 40 км/ч больше скорости автобуса? (Рассмотрите два случая.)

Решение 1.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 8.

Для решения этой задачи введем переменные и рассмотрим два возможных случая расположения пункта В относительно пункта А.

Пусть $v_б$ — скорость автобуса в км/ч, тогда скорость автомобиля $v_а = v_б + 40$ км/ч.

Автобус выехал на 30 минут раньше автомобиля. Автомобиль догнал автобус через 45 минут после своего выезда.

Время движения автомобиля до встречи: $t_а = 45 \text{ мин} = \frac{45}{60} \text{ ч} = 0.75 \text{ ч}$.

Время движения автобуса до встречи: $t_б = 45 \text{ мин} + 30 \text{ мин} = 75 \text{ мин} = \frac{75}{60} \text{ ч} = 1.25 \text{ ч}$.

Пусть место встречи находится на расстоянии $S$ от пункта А. Тогда расстояние, которое проехал автобус, равно $S$.

$S = v_б \cdot t_б = v_б \cdot 1.25$

Расстояние, которое проехал автомобиль, зависит от расположения пункта В.

В условии сказано, что пункт B отстоит от пункта A на 6 км. Это может означать, что B находится либо впереди A по направлению движения, либо позади A.

Случай 1: Пункт В находится по ходу движения автобуса, то есть дальше от пункта А.

В этом случае, чтобы догнать автобус, автомобиль должен проехать расстояние на 6 км больше, чем автобус. Примем координату пункта А за 0. Тогда координата пункта В равна 6.

К моменту встречи автобус проедет расстояние $S_б = v_б \cdot 1.25$.

Автомобиль, выехав из пункта В, проедет расстояние $S_а = v_а \cdot 0.75$.

В точке встречи их координаты будут равны:

$S_б = 6 + S_а$

Подставим выражения для расстояний и скоростей:

$v_б \cdot 1.25 = 6 + (v_б + 40) \cdot 0.75$

Раскроем скобки и решим уравнение относительно $v_б$:

$1.25 \cdot v_б = 6 + 0.75 \cdot v_б + 40 \cdot 0.75$

$1.25 \cdot v_б = 6 + 0.75 \cdot v_б + 30$

$1.25 \cdot v_б - 0.75 \cdot v_б = 36$

$0.5 \cdot v_б = 36$

$v_б = 72$ км/ч.

Теперь найдем расстояние от пункта А, на котором автомобиль догнал автобус. Это расстояние, которое проехал автобус за свое время движения:

$S = v_б \cdot t_б = 72 \text{ км/ч} \cdot 1.25 \text{ ч} = 90$ км.

Проверка: Скорость автомобиля $v_а = 72 + 40 = 112$ км/ч. Расстояние, пройденное автомобилем от пункта B: $112 \cdot 0.75 = 84$ км. Расстояние от пункта А: $6 + 84 = 90$ км. Все верно.

Ответ: 90 км.

Случай 2: Пункт В находится позади пункта А относительно направления движения.

В этом случае автомобиль сначала проедет 6 км до пункта А, а затем поедет вслед за автобусом. Примем координату пункта А за 0. Тогда координата пункта В равна -6.

К моменту встречи автобус проедет расстояние $S_б = v_б \cdot 1.25$. Его координата будет $S_б$.

Автомобиль, выехав из пункта В, проедет расстояние $S_а = v_а \cdot 0.75$. Его координата в момент встречи будет $-6 + S_а$.

В точке встречи их координаты будут равны:

$S_б = -6 + S_а$

Подставим выражения для расстояний и скоростей:

$v_б \cdot 1.25 = -6 + (v_б + 40) \cdot 0.75$

Раскроем скобки и решим уравнение относительно $v_б$:

$1.25 \cdot v_б = -6 + 0.75 \cdot v_б + 40 \cdot 0.75$

$1.25 \cdot v_б = -6 + 0.75 \cdot v_б + 30$

$1.25 \cdot v_б - 0.75 \cdot v_б = 24$

$0.5 \cdot v_б = 24$

$v_б = 48$ км/ч.

Теперь найдем расстояние от пункта А, на котором автомобиль догнал автобус:

$S = v_б \cdot t_б = 48 \text{ км/ч} \cdot 1.25 \text{ ч} = 60$ км.

Проверка: Скорость автомобиля $v_а = 48 + 40 = 88$ км/ч. Расстояние, пройденное автомобилем от пункта B: $88 \cdot 0.75 = 66$ км. Расстояние от пункта А: $66 - 6 = 60$ км. Все верно.

Ответ: 60 км.