Номер 4.31, страница 25, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 4. Линейное уравнение с одной переменной. Глава 1. Математический язык. Математическая модель. Часть 2 - номер 4.31, страница 25.

Условие.

4.31 Велосипедист ехал от посёлка до станции сначала 30 мин по грунтовой дороге, а затем 40 мин по шоссе. С какой скоростью ехал велосипедист по шоссе, если она на 4 км/ч больше, чем скорость по грунтовой дороге, а расстояние от посёлка до станции 12 км?

Решение 1.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 8.

Для решения задачи введем переменную и составим уравнение. Пусть $v_1$ — скорость велосипедиста по грунтовой дороге в км/ч. Согласно условию, скорость по шоссе на 4 км/ч больше, следовательно, скорость по шоссе $v_2 = v_1 + 4$ км/ч.

Для удобства расчетов переведем время движения из минут в часы, поскольку скорость измеряется в км/ч.

Время движения по грунтовой дороге: $t_1 = 30 \text{ мин} = \frac{30}{60} \text{ ч} = \frac{1}{2} \text{ ч}$.

Время движения по шоссе: $t_2 = 40 \text{ мин} = \frac{40}{60} \text{ ч} = \frac{2}{3} \text{ ч}$.

Общее расстояние равно сумме расстояний, пройденных на каждом из участков пути. Расстояние вычисляется по формуле $S = v \cdot t$.

Расстояние, пройденное по грунтовой дороге: $S_1 = v_1 \cdot t_1 = v_1 \cdot \frac{1}{2}$ км.

Расстояние, пройденное по шоссе: $S_2 = v_2 \cdot t_2 = (v_1 + 4) \cdot \frac{2}{3}$ км.

Общее расстояние от посёлка до станции равно 12 км. Составим и решим уравнение:

$S_1 + S_2 = 12$

$\frac{1}{2}v_1 + \frac{2}{3}(v_1 + 4) = 12$

Раскроем скобки в левой части уравнения:

$\frac{1}{2}v_1 + \frac{2}{3}v_1 + \frac{2}{3} \cdot 4 = 12$

$\frac{1}{2}v_1 + \frac{2}{3}v_1 + \frac{8}{3} = 12$

Сгруппируем слагаемые с переменной $v_1$. Для этого приведем дроби к общему знаменателю 6:

$(\frac{3}{6} + \frac{4}{6})v_1 = 12 - \frac{8}{3}$

$\frac{7}{6}v_1 = \frac{36}{3} - \frac{8}{3}$

$\frac{7}{6}v_1 = \frac{28}{3}$

Теперь найдем $v_1$:

$v_1 = \frac{28}{3} \div \frac{7}{6} = \frac{28}{3} \cdot \frac{6}{7}$

$v_1 = \frac{28 \cdot 6}{3 \cdot 7} = \frac{4 \cdot 2}{1 \cdot 1} = 8$

Мы нашли скорость по грунтовой дороге, она равна 8 км/ч. В задаче требуется найти скорость по шоссе.

Скорость по шоссе: $v_2 = v_1 + 4 = 8 + 4 = 12$ км/ч.

Проверка:

Найдем расстояние, пройденное на каждом участке, и сложим их:

$S_1 = 8 \text{ км/ч} \cdot \frac{1}{2} \text{ ч} = 4 \text{ км}$.

$S_2 = 12 \text{ км/ч} \cdot \frac{2}{3} \text{ ч} = 8 \text{ км}$.

$S_{общ} = S_1 + S_2 = 4 \text{ км} + 8 \text{ км} = 12 \text{ км}$.

Общее расстояние совпадает с условием задачи, значит, решение верное.

Ответ: 12 км/ч.