Номер 8.23, страница 44, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 8. Линейное уравнение с двумя переменными и его график. Глава 2. Линейная функция. Часть 2 - номер 8.23, страница 44.

Условие.

8.23 a) $3a + 8b = 24;$

б) $6c + 5d = 30;$

в) $12m - 3n = 48;$

г) $7x - 8y = 56.$

Решение 1.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

а) Дано линейное диофантово уравнение $3a + 8b = 24$. Для нахождения его целочисленных решений выразим переменную $a$ через $b$:
$3a = 24 - 8b$
$a = \frac{24 - 8b}{3} = 8 - \frac{8b}{3}$
Чтобы значение $a$ было целым, необходимо, чтобы дробь $\frac{8b}{3}$ была целым числом. Так как коэффициенты 8 и 3 являются взаимно простыми числами (их наибольший общий делитель равен 1), то $b$ должно быть кратно 3. Введем целочисленный параметр $k$, такой что $b = 3k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Теперь подставим это в выражение для $a$:
$a = 8 - \frac{8(3k)}{3} = 8 - 8k$
Таким образом, общее решение уравнения в целых числах имеет вид:
$a = 8 - 8k, b = 3k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Проверка: $3(8 - 8k) + 8(3k) = 24 - 24k + 24k = 24$, что верно.
Ответ: $a = 8 - 8k, b = 3k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

б) Рассмотрим уравнение $6c + 5d = 30$. Коэффициенты 6 и 5 взаимно просты, поэтому уравнение имеет целочисленные решения. Выразим $d$ через $c$:
$5d = 30 - 6c$
$d = \frac{30 - 6c}{5} = 6 - \frac{6c}{5}$
Для целочисленности $d$ необходимо, чтобы $c$ было кратно 5, так как $\text{НОД}(6,5)=1$. Пусть $c = 5k$ для некоторого целого $k$ ($k \in \mathbb{Z}$).
Подставим в выражение для $d$:
$d = 6 - \frac{6(5k)}{5} = 6 - 6k$
Общее решение:
$c = 5k, d = 6 - 6k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Проверка: $6(5k) + 5(6 - 6k) = 30k + 30 - 30k = 30$, что верно.
Ответ: $c = 5k, d = 6 - 6k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

в) Дано уравнение $12m - 3n = 48$. Все коэффициенты этого уравнения (12, -3, 48) делятся на их наибольший общий делитель, который равен 3. Разделим обе части уравнения на 3 для упрощения:
$4m - n = 16$
Из этого уравнения легко выразить $n$ через $m$:
$n = 4m - 16$
Это соотношение показывает, что для любого целого значения $m$, значение $n$ также будет целым. Чтобы записать общее решение, можно положить, что $m$ является произвольным целым числом. Обозначим его через параметр $k$:
$m = k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Тогда $n$ выражается как:
$n = 4k - 16$
Общее решение:
$m = k, n = 4k - 16$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Проверка: $12(k) - 3(4k - 16) = 12k - 12k + 48 = 48$, что верно.
Ответ: $m = k, n = 4k - 16$, где $k \in \mathbb{Z}$.

г) Рассмотрим уравнение $7x - 8y = 56$. Коэффициенты 7 и -8 взаимно просты, решения в целых числах существуют. Выразим $x$ через $y$:
$7x = 56 + 8y$
$x = \frac{56 + 8y}{7} = 8 + \frac{8y}{7}$
Чтобы $x$ было целым, $y$ должно быть кратно 7, так как $\text{НОД}(8,7)=1$. Пусть $y = 7k$ для некоторого целого $k$ ($k \in \mathbb{Z}$).
Подставим в выражение для $x$:
$x = 8 + \frac{8(7k)}{7} = 8 + 8k$
Общее решение:
$x = 8 + 8k, y = 7k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Проверка: $7(8 + 8k) - 8(7k) = 56 + 56k - 56k = 56$, что верно.
Ответ: $x = 8 + 8k, y = 7k$, где $k \in \mathbb{Z}$.