Номер 8.30, страница 45, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

Часть 2. Глава 2. Линейная функция. Параграф 8. Линейное уравнение с двумя переменными и его график - номер 8.30, страница 45.

Условие.

Решите задачу, использовав для составления математической модели две переменные и построив затем графики соответствующих линейных уравнений:

8.30 Сумма двух чисел равна 5, а разность равна 1. Найдите эти числа.

Решение 1.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Составление математической модели

Пусть первое искомое число — $x$, а второе — $y$.

Согласно условию задачи, сумма этих двух чисел равна 5. Это можно записать в виде первого линейного уравнения: $x + y = 5$.

Также из условия известно, что разность этих чисел равна 1. Предположим, что $x$ — большее число, тогда второе уравнение будет выглядеть так: $x - y = 1$.

Таким образом, мы составили математическую модель задачи в виде системы двух линейных уравнений с двумя переменными: $$ \begin{cases} x + y = 5 \\ x - y = 1 \end{cases} $$

Построение графиков и нахождение решения

Для решения задачи графическим методом необходимо построить графики каждого уравнения в одной прямоугольной системе координат. Решением системы будет являться точка пересечения этих графиков.

Для построения графиков выразим переменную $y$ через $x$ в каждом уравнении, чтобы получить уравнения линейных функций:

Из первого уравнения $x + y = 5$ получаем: $y = 5 - x$.

Из второго уравнения $x - y = 1$ получаем: $y = x - 1$.

Теперь построим графики этих двух функций. Каждый график — это прямая, для построения которой достаточно найти координаты двух любых точек.

Для прямой $y = 5 - x$:
- если $x = 0$, то $y = 5 - 0 = 5$. Точка $(0; 5)$.
- если $x = 2$, то $y = 5 - 2 = 3$. Точка $(2; 3)$.

Для прямой $y = x - 1$:
- если $x = 0$, то $y = 0 - 1 = -1$. Точка $(0; -1)$.
- если $x = 4$, то $y = 4 - 1 = 3$. Точка $(4; 3)$.

Построив обе прямые на координатной плоскости по найденным точкам, мы видим, что они пересекаются. Координаты точки пересечения и есть решение нашей системы.

Точка пересечения графиков имеет координаты $(3; 2)$.

Следовательно, решением системы являются значения $x = 3$ и $y = 2$.

Проверка:
Подставим найденные значения в исходные условия.
Сумма чисел: $3 + 2 = 5$. (Верно)
Разность чисел: $3 - 2 = 1$. (Верно)

Таким образом, искомые числа — это 3 и 2.

Ответ: 3 и 2.