Номер 19.24, страница 97, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

19.24 Не производя вычислений, расположите в порядке возрастания следующие числа:

а) $ (-0,4)^3, (-1,5)^2, (\frac{1}{7})^3, (-7)^3; $

б) $ (-1\frac{1}{3})^3, (-1,8)^2, (-\frac{3}{7})^3, (-2,1)^2; $

в) $ (-1,5)^2, (0,8)^3, (-1,1)^2, (-\frac{2}{3})^3; $

г) $ (-\frac{3}{4})^3, (-\frac{2}{5})^2, 0,3^2, (-1,2)^2. $

а) Для того чтобы расположить числа в порядке возрастания, не производя вычислений, определим сначала знак каждого числа.
Числа $(-0,4)^3$ и $(-7)^3$ отрицательные, так как отрицательное основание возводится в нечетную степень (3).
Числа $(-1,5)^2$ и $(\frac{1}{7})^3$ положительные. Первое — так как отрицательное основание возводится в четную степень (2), а второе — так как основание положительное.
Любое отрицательное число меньше любого положительного, поэтому сначала расположим отрицательные числа, а затем положительные.
Сравним отрицательные числа: $(-0,4)^3$ и $(-7)^3$. Сравним их основания: $-7 < -0,4$. Поскольку функция $y=x^3$ является возрастающей для всех $x$, то из $-7 < -0,4$ следует, что $(-7)^3 < (-0,4)^3$.
Сравним положительные числа: $(-1,5)^2$ и $(\frac{1}{7})^3$. $(-1,5)^2 = 1,5^2$. Основание $1,5 > 1$, значит $1,5^2 > 1^2$, то есть $1,5^2 > 1$. Основание $0 < \frac{1}{7} < 1$, значит $(\frac{1}{7})^3 < 1^3$, то есть $(\frac{1}{7})^3 < 1$. Следовательно, $(\frac{1}{7})^3 < (-1,5)^2$.
Объединяя результаты, получаем итоговый порядок возрастания: $(-7)^3$, $(-0,4)^3$, $(\frac{1}{7})^3$, $(-1,5)^2$.
Ответ: $(-7)^3, (-0,4)^3, (\frac{1}{7})^3, (-1,5)^2$.

б) Определим знак каждого числа.
$(-1\frac{1}{3})^3$ и $(-\frac{3}{7})^3$ — отрицательные числа (нечетная степень отрицательного основания).
$(-1,8)^2$ и $(-2,1)^2$ — положительные числа (четная степень отрицательного основания).
Сравним отрицательные числа: $(-1\frac{1}{3})^3$ и $(-\frac{3}{7})^3$. Сравним их основания: $-1\frac{1}{3} = -\frac{4}{3}$ и $-\frac{3}{7}$. Чтобы сравнить дроби, приведем их к общему знаменателю: $-\frac{4}{3} = -\frac{28}{21}$ и $-\frac{3}{7} = -\frac{9}{21}$. Так как $-28 < -9$, то $-\frac{28}{21} < -\frac{9}{21}$, следовательно, $-1\frac{1}{3} < -\frac{3}{7}$. Поскольку степень (3) нечетная, порядок сохраняется: $(-1\frac{1}{3})^3 < (-\frac{3}{7})^3$.
Сравним положительные числа: $(-1,8)^2$ и $(-2,1)^2$. Это эквивалентно сравнению $1,8^2$ и $2,1^2$. Сравним модули оснований: $|-1,8| = 1,8$ и $|-2,1| = 2,1$. Так как $1,8 < 2,1$, а функция $y=x^2$ для положительных $x$ является возрастающей, то $1,8^2 < 2,1^2$, а значит $(-1,8)^2 < (-2,1)^2$.
Объединяем отрицательные и положительные группы в порядке возрастания: $(-1\frac{1}{3})^3, (-\frac{3}{7})^3, (-1,8)^2, (-2,1)^2$.
Ответ: $(-1\frac{1}{3})^3, (-\frac{3}{7})^3, (-1,8)^2, (-2,1)^2$.

в) Определим знак каждого числа.
Единственное отрицательное число — это $(-\frac{2}{3})^3$ (нечетная степень отрицательного основания), поэтому оно будет наименьшим в ряду.
Числа $(-1,5)^2$, $(0,8)^3$, $(-1,1)^2$ — положительные.
Сравним эти положительные числа: $(-1,5)^2 = 1,5^2$, $(0,8)^3$ и $(-1,1)^2 = 1,1^2$.
Сравним их по отношению к единице. Поскольку $0 < 0,8 < 1$, то $(0,8)^3 < 1^3 = 1$. Поскольку $1,1 > 1$ и $1,5 > 1$, то $1,1^2 > 1^2 = 1$ и $1,5^2 > 1^2 = 1$. Отсюда следует, что $(0,8)^3$ — наименьшее из положительных чисел.
Теперь сравним $1,5^2$ и $1,1^2$. Так как $1,5 > 1,1$ и основания положительные, то $1,5^2 > 1,1^2$. Следовательно, порядок положительных чисел таков: $(0,8)^3 < (-1,1)^2 < (-1,5)^2$.
Итоговый порядок: $(-\frac{2}{3})^3, (0,8)^3, (-1,1)^2, (-1,5)^2$.
Ответ: $(-\frac{2}{3})^3, (0,8)^3, (-1,1)^2, (-1,5)^2$.

г) Определим знак каждого числа.
Единственное отрицательное число — это $(-\frac{3}{4})^3$ (нечетная степень отрицательного основания), оно является наименьшим.
Числа $(-\frac{2}{5})^2$, $0,3^2$, $(-1,2)^2$ — положительные.
Чтобы сравнить эти положительные числа, сравним квадраты модулей их оснований: $(\frac{2}{5})^2$, $0,3^2$ и $1,2^2$.
Сравним сами модули оснований: $|-\frac{2}{5}| = \frac{2}{5} = 0,4$; $|0,3| = 0,3$; $|-1,2| = 1,2$. В порядке возрастания модули оснований располагаются так: $0,3 < 0,4 < 1,2$. Поскольку функция $y=x^2$ для положительных $x$ возрастающая, то порядок для квадратов сохранится: $0,3^2 < 0,4^2 < 1,2^2$. Это означает, что $0,3^2 < (-\frac{2}{5})^2 < (-1,2)^2$.
Собираем все числа в один ряд по возрастанию: $(-\frac{3}{4})^3, 0,3^2, (-\frac{2}{5})^2, (-1,2)^2$.
Ответ: $(-\frac{3}{4})^3, 0,3^2, (-\frac{2}{5})^2, (-1,2)^2$.