Номер 19.26, страница 98, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

19.26 Найдите x, если:

а) $2^{2x} = 128$;

б) $3^{x-3} = 243$;

в) $5^{\frac{x}{2}} = 125$;

г) $2^{2-3x} = 256$.

а) Для решения уравнения $2^{2x} = 128$ необходимо привести обе части к одному основанию. В данном случае это основание 2.
Представим число 128 как степень двойки: $128 = 2^7$, так как $2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 128$.
Подставим это значение в исходное уравнение:
$2^{2x} = 2^7$
Так как основания степеней в обеих частях уравнения равны, мы можем приравнять их показатели:
$2x = 7$
Разделим обе части на 2, чтобы найти x:
$x = \frac{7}{2} = 3.5$
Ответ: $x = 3.5$

б) В уравнении $3^{x-3} = 243$ приведем обе части к основанию 3.
Представим число 243 как степень тройки: $243 = 3^5$, так как $3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 243$.
Теперь уравнение выглядит так:
$3^{x-3} = 3^5$
Приравниваем показатели степеней, так как основания равны:
$x-3 = 5$
Перенесем -3 в правую часть уравнения, изменив знак:
$x = 5 + 3$
$x = 8$
Ответ: $x = 8$

в) Решим уравнение $5^{\frac{x}{2}} = 125$. Приведем обе части к основанию 5.
Число 125 можно представить как степень пятерки: $125 = 5^3$, так как $5 \cdot 5 \cdot 5 = 125$.
Запишем уравнение в новом виде:
$5^{\frac{x}{2}} = 5^3$
Поскольку основания равны, приравниваем показатели:
$\frac{x}{2} = 3$
Чтобы найти x, умножим обе части уравнения на 2:
$x = 3 \cdot 2$
$x = 6$
Ответ: $x = 6$

г) В уравнении $2^{2-3x} = 256$ приведем обе части к основанию 2.
Представим число 256 как степень двойки: $256 = 2^8$, так как $2^7=128$, а $128 \cdot 2 = 256$.
Уравнение принимает вид:
$2^{2-3x} = 2^8$
Приравниваем показатели степеней:
$2 - 3x = 8$
Перенесем 2 в правую часть уравнения:
$-3x = 8 - 2$
$-3x = 6$
Разделим обе части на -3, чтобы найти x:
$x = \frac{6}{-3}$
$x = -2$
Ответ: $x = -2$