Номер 19.27, страница 98, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

19.27 Сравните числа n и k, если:

а) $3^{2k} = 729$, $2^n = 16$;

б) $7^{k-2} = 343$, $2^{n+2} = 128$.

а)

Для того чтобы сравнить числа $n$ и $k$, необходимо найти их значения из предложенных уравнений.

Сначала решим уравнение $3^{2k} = 729$ относительно $k$.

Представим правую часть уравнения в виде степени с основанием 3. Известно, что $3^6 = 729$.

Получаем уравнение: $3^{2k} = 3^6$.

Так как основания степеней равны, мы можем приравнять их показатели:

$2k = 6$

Разделим обе части на 2:

$k = 3$

Теперь решим уравнение $2^n = 16$ относительно $n$.

Представим правую часть в виде степени с основанием 2. Известно, что $2^4 = 16$.

Получаем уравнение: $2^n = 2^4$.

Приравниваем показатели степеней:

$n = 4$

Теперь сравним полученные значения: $k = 3$ и $n = 4$.

Поскольку $4 > 3$, то $n > k$.

Ответ: $n > k$.

б)

Найдем значения $n$ и $k$ из данных уравнений, чтобы их сравнить.

Сначала решим уравнение $7^{k-2} = 343$ относительно $k$.

Представим число 343 как степень с основанием 7. Известно, что $7^3 = 343$.

Получаем уравнение: $7^{k-2} = 7^3$.

Приравниваем показатели степеней, так как основания равны:

$k - 2 = 3$

Перенесем -2 в правую часть:

$k = 3 + 2$

$k = 5$

Теперь решим уравнение $2^{n+2} = 128$ относительно $n$.

Представим число 128 как степень с основанием 2. Известно, что $2^7 = 128$.

Получаем уравнение: $2^{n+2} = 2^7$.

Приравниваем показатели степеней:

$n + 2 = 7$

Перенесем 2 в правую часть:

$n = 7 - 2$

$n = 5$

Теперь сравним полученные значения: $k = 5$ и $n = 5$.

Поскольку $5 = 5$, то $n = k$.

Ответ: $n = k$.