Номер 20.33, страница 101, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

20.33 a) $\frac{5^6 \cdot 125}{25^4}$;

б) $\frac{3^{11} \cdot 27}{9^6}$;

в) $\frac{2^5 \cdot 8}{4^3}$;

г) $\frac{16^6}{4^7 \cdot 64}$.

а)

Чтобы решить данное выражение $\frac{5^6 \cdot 125}{25^4}$, приведем все числа к основанию 5. Мы знаем, что $125 = 5^3$ и $25 = 5^2$. Подставим эти значения в исходное выражение: $\frac{5^6 \cdot 5^3}{(5^2)^4}$
Используем свойства степеней: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ и $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$.
В числителе: $5^6 \cdot 5^3 = 5^{6+3} = 5^9$.
В знаменателе: $(5^2)^4 = 5^{2 \cdot 4} = 5^8$.
Теперь выражение выглядит так: $\frac{5^9}{5^8}$.
Используем свойство деления степеней с одинаковым основанием: $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$.
$\frac{5^9}{5^8} = 5^{9-8} = 5^1 = 5$.
Ответ: 5

б)

Рассмотрим выражение $\frac{3^{11} \cdot 27}{9^6}$. Приведем все числа к основанию 3. Мы знаем, что $27 = 3^3$ и $9 = 3^2$. Подставим эти значения в выражение: $\frac{3^{11} \cdot 3^3}{(3^2)^6}$
Упростим числитель, используя правило умножения степеней: $3^{11} \cdot 3^3 = 3^{11+3} = 3^{14}$.
Упростим знаменатель, используя правило возведения степени в степень: $(3^2)^6 = 3^{2 \cdot 6} = 3^{12}$.
Получим дробь: $\frac{3^{14}}{3^{12}}$.
Применим правило деления степеней: $\frac{3^{14}}{3^{12}} = 3^{14-12} = 3^2 = 9$.
Ответ: 9

в)

Рассмотрим выражение $\frac{2^5 \cdot 8}{4^3}$. Приведем все числа к основанию 2. Мы знаем, что $8 = 2^3$ и $4 = 2^2$. Подставим эти значения в выражение: $\frac{2^5 \cdot 2^3}{(2^2)^3}$
Упростим числитель: $2^5 \cdot 2^3 = 2^{5+3} = 2^8$.
Упростим знаменатель: $(2^2)^3 = 2^{2 \cdot 3} = 2^6$.
Получим дробь: $\frac{2^8}{2^6}$.
Применим правило деления степеней: $\frac{2^8}{2^6} = 2^{8-6} = 2^2 = 4$.
Ответ: 4

г)

Рассмотрим выражение $\frac{16^6}{4^7 \cdot 64}$. Приведем все числа к одному основанию, например, к основанию 4. Мы знаем, что $16 = 4^2$ и $64 = 4^3$. Подставим эти значения в выражение: $\frac{(4^2)^6}{4^7 \cdot 4^3}$
Упростим числитель: $(4^2)^6 = 4^{2 \cdot 6} = 4^{12}$.
Упростим знаменатель: $4^7 \cdot 4^3 = 4^{7+3} = 4^{10}$.
Получим дробь: $\frac{4^{12}}{4^{10}}$.
Применим правило деления степеней: $\frac{4^{12}}{4^{10}} = 4^{12-10} = 4^2 = 16$.
Альтернативное решение (приведение к основанию 2):
$16 = 2^4$, $4 = 2^2$, $64 = 2^6$.
$\frac{(2^4)^6}{(2^2)^7 \cdot 2^6} = \frac{2^{24}}{2^{14} \cdot 2^6} = \frac{2^{24}}{2^{14+6}} = \frac{2^{24}}{2^{20}} = 2^{24-20} = 2^4 = 16$.
Оба способа дают одинаковый результат.
Ответ: 16