Номер 20.36, страница 102, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

20.36 Используя правила умножения и деления степеней, упростите выражение:

а) $\frac{a^3 \cdot a^5 : a^6}{a^7 \cdot a^8 : a^{14}}$;

б) $\frac{z^3 \cdot z^{17}}{z^{19}} \cdot \frac{q^{43} \cdot q^2}{q^{44}}$;

в) $\frac{b^{13} \cdot b^{12} : b^3}{b^{20} \cdot b^4 : b^3}$;

г) $\frac{m^{79} \cdot m^4}{m^{99}} \cdot \frac{m^{63} \cdot m^{57}}{m^{96}}$.

а) $ \frac{a^3 \cdot a^5 : a^6}{a^7 \cdot a^8 : a^{14}} $

Для упрощения данного выражения мы будем использовать правила действий со степенями с одинаковым основанием: при умножении степеней их показатели складываются ($x^m \cdot x^n = x^{m+n}$), а при делении — вычитаются ($x^m : x^n = x^{m-n}$ или $\frac{x^m}{x^n} = x^{m-n}$).

1. Упростим выражение в числителе дроби, выполняя действия последовательно слева направо:
$a^3 \cdot a^5 : a^6 = a^{3+5} : a^6 = a^8 : a^6 = a^{8-6} = a^2$.

2. Упростим выражение в знаменателе дроби:
$a^7 \cdot a^8 : a^{14} = a^{7+8} : a^{14} = a^{15} : a^{14} = a^{15-14} = a^1 = a$.

3. Теперь разделим результат числителя на результат знаменателя:
$\frac{a^2}{a} = a^{2-1} = a^1 = a$.

Ответ: $a$.

б) $ \frac{z^3 \cdot z^{17}}{z^{19}} \cdot \frac{q^{43} \cdot q^2}{q^{44}} $

Упростим каждую из дробей по отдельности, а затем перемножим полученные результаты.

1. Упростим первую дробь с переменной $z$:
Сначала выполним умножение в числителе: $z^3 \cdot z^{17} = z^{3+17} = z^{20}$.
Затем выполним деление: $\frac{z^{20}}{z^{19}} = z^{20-19} = z^1 = z$.

2. Упростим вторую дробь с переменной $q$:
Сначала выполним умножение в числителе: $q^{43} \cdot q^2 = q^{43+2} = q^{45}$.
Затем выполним деление: $\frac{q^{45}}{q^{44}} = q^{45-44} = q^1 = q$.

3. Перемножим упрощенные дроби:
$z \cdot q = zq$.

Ответ: $zq$.

в) $ \frac{b^{13} \cdot b^{12} : b^3}{b^{20} \cdot b^4 : b^3} $

Упростим числитель и знаменатель дроби по отдельности, используя правила действий со степенями.

1. Упростим числитель:
$b^{13} \cdot b^{12} : b^3 = b^{13+12} : b^3 = b^{25} : b^3 = b^{25-3} = b^{22}$.

2. Упростим знаменатель:
$b^{20} \cdot b^4 : b^3 = b^{20+4} : b^3 = b^{24} : b^3 = b^{24-3} = b^{21}$.

3. Выполним деление полученных выражений:
$\frac{b^{22}}{b^{21}} = b^{22-21} = b^1 = b$.

Ответ: $b$.

г) $ \frac{m^{79} \cdot m^4}{m^{99}} \cdot \frac{m^{63} \cdot m^{57}}{m^{96}} $

Для упрощения этого выражения можно сначала перемножить дроби, а затем упростить полученную большую дробь.

1. Перемножим числители и знаменатели дробей:
$\frac{m^{79} \cdot m^4 \cdot m^{63} \cdot m^{57}}{m^{99} \cdot m^{96}}$

2. Упростим числитель, сложив показатели степеней:
$m^{79+4+63+57} = m^{83+120} = m^{203}$.

3. Упростим знаменатель, сложив показатели степеней:
$m^{99+96} = m^{195}$.

4. Выполним деление, вычитая из показателя числителя показатель знаменателя:
$\frac{m^{203}}{m^{195}} = m^{203-195} = m^8$.

Ответ: $m^8$.