Номер 20.42, страница 102, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

20.42 Решите уравнение:

а) $ \frac{(x^8)^4 \cdot (x^5)^9}{(x^{15})^4 \cdot (x^4)^4} = 5; $

б) $ \frac{x^{17} \cdot x^{23}}{(x^8)^3 \cdot x^5 \cdot (x^2)^3} = -243; $

в) $ \frac{(x^{45})^2 : (x^{40})^2}{(x^5)^4 : x^{17}} = -1; $

г) $ \frac{(x^5)^2 \cdot (x^4)^7 \cdot x}{x^{130} : (x^{25})^4} = 512. $

а) $\frac{(x^8)^4 \cdot (x^5)^9}{(x^{15})^4 \cdot (x^4)^4} = 5$

Для решения данного уравнения воспользуемся свойствами степеней: $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$, $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ и $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$.

1. Упростим числитель дроби:

$(x^8)^4 \cdot (x^5)^9 = x^{8 \cdot 4} \cdot x^{5 \cdot 9} = x^{32} \cdot x^{45} = x^{32+45} = x^{77}$.

2. Упростим знаменатель дроби:

$(x^{15})^4 \cdot (x^4)^4 = x^{15 \cdot 4} \cdot x^{4 \cdot 4} = x^{60} \cdot x^{16} = x^{60+16} = x^{76}$.

3. Подставим упрощенные выражения обратно в уравнение:

$\frac{x^{77}}{x^{76}} = 5$.

4. Упростим левую часть уравнения:

$x^{77-76} = 5$,

$x^1 = 5$,

$x = 5$.

Ответ: $x = 5$.

б) $\frac{x^{17} \cdot x^{23}}{(x^8)^3 \cdot x^5 \cdot (x^2)^3} = -243$

Применим те же свойства степеней, что и в предыдущем задании.

1. Упростим числитель:

$x^{17} \cdot x^{23} = x^{17+23} = x^{40}$.

2. Упростим знаменатель:

$(x^8)^3 \cdot x^5 \cdot (x^2)^3 = x^{8 \cdot 3} \cdot x^5 \cdot x^{2 \cdot 3} = x^{24} \cdot x^5 \cdot x^6 = x^{24+5+6} = x^{35}$.

3. Подставим упрощенные выражения в уравнение:

$\frac{x^{40}}{x^{35}} = -243$.

4. Упростим левую часть:

$x^{40-35} = -243$,

$x^5 = -243$.

5. Найдем корень уравнения. Нам нужно найти число, которое при возведении в пятую степень дает -243. Поскольку степень нечетная, корень существует и он один. Заметим, что $3^5 = 243$. Следовательно, $(-3)^5 = -243$.

$x = -3$.

Ответ: $x = -3$.

в) $\frac{(x^{45})^2 : (x^{40})^2}{(x^5)^4 : x^{17}} = -1$

Знак деления ":" эквивалентен дробной черте. Будем использовать свойства степеней, включая $a^m : a^n = a^{m-n}$.

1. Упростим числитель:

$(x^{45})^2 : (x^{40})^2 = x^{45 \cdot 2} : x^{40 \cdot 2} = x^{90} : x^{80} = x^{90-80} = x^{10}$.

2. Упростим знаменатель:

$(x^5)^4 : x^{17} = x^{5 \cdot 4} : x^{17} = x^{20} : x^{17} = x^{20-17} = x^3$.

3. Подставим упрощенные выражения в уравнение:

$\frac{x^{10}}{x^3} = -1$.

4. Упростим левую часть:

$x^{10-3} = -1$,

$x^7 = -1$.

5. Решим полученное уравнение. Единственное действительное число, которое в нечетной степени (в данном случае 7) равно -1, это -1.

$x = -1$.

Ответ: $x = -1$.

г) $\frac{(x^5)^2 \cdot (x^4)^7 \cdot x}{x^{130} : (x^{25})^4} = 512$

Применим свойства степеней для упрощения выражения.

1. Упростим числитель. Учтем, что $x = x^1$.

$(x^5)^2 \cdot (x^4)^7 \cdot x = x^{5 \cdot 2} \cdot x^{4 \cdot 7} \cdot x^1 = x^{10} \cdot x^{28} \cdot x^1 = x^{10+28+1} = x^{39}$.

2. Упростим знаменатель:

$x^{130} : (x^{25})^4 = x^{130} : x^{25 \cdot 4} = x^{130} : x^{100} = x^{130-100} = x^{30}$.

3. Подставим упрощенные части в исходное уравнение:

$\frac{x^{39}}{x^{30}} = 512$.

4. Упростим левую часть:

$x^{39-30} = 512$,

$x^9 = 512$.

5. Найдем корень уравнения. Нам нужно найти число, которое при возведении в девятую степень дает 512. Известно, что $2^9 = 512$.

$x = 2$.

Ответ: $x = 2$.