Номер 20.41, страница 102, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

20.41 Возведите в степень:

а) $(x^3)^n$;

б) $(-a^4)^{2n}$;

в) $(y^n)^5$;

г) $(-b^3)^{6n}$.

а) Чтобы возвести степень в степень, нужно основание оставить без изменений, а показатели степеней перемножить. Это свойство описывается формулой $(a^m)^k = a^{m \cdot k}$.

Применяя это правило к выражению $(x^3)^n$, мы перемножаем показатели $3$ и $n$:

$(x^3)^n = x^{3 \cdot n} = x^{3n}$.

Ответ: $x^{3n}$

б) В выражении $(-a^4)^{2n}$ мы возводим в степень отрицательное основание. Выражение можно представить как $ ((-1) \cdot a^4)^{2n} $. Используя свойство степени произведения $(ab)^k = a^k b^k$, получаем:

$(-a^4)^{2n} = (-1)^{2n} \cdot (a^4)^{2n}$.

Показатель степени $2n$ (где $n$ — целое число) всегда является четным числом. При возведении отрицательного числа в четную степень результат будет положительным. В частности, $(-1)$ в любой четной степени равно $1$. Таким образом, $(-1)^{2n} = 1$.

Теперь упростим вторую часть выражения, используя правило возведения степени в степень:

$(a^4)^{2n} = a^{4 \cdot 2n} = a^{8n}$.

Следовательно, итоговое выражение равно:

$1 \cdot a^{8n} = a^{8n}$.

Ответ: $a^{8n}$

в) Для выражения $(y^n)^5$ мы снова используем правило возведения степени в степень: $(a^m)^k = a^{m \cdot k}$.

Основание $y$ остается прежним, а показатели $n$ и $5$ перемножаются:

$(y^n)^5 = y^{n \cdot 5} = y^{5n}$.

Ответ: $y^{5n}$

г) Выражение $(-b^3)^{6n}$ аналогично примеру б). Здесь также отрицательное основание возводится в степень.

$(-b^3)^{6n} = ((-1) \cdot b^3)^{6n} = (-1)^{6n} \cdot (b^3)^{6n}$.

Показатель $6n$ для любого целого $n$ является четным числом (так как делится на 2). Поэтому $(-1)$, возведенное в степень $6n$, равно $1$.

$(-1)^{6n} = 1$.

Для второй части $(b^3)^{6n}$ применим правило возведения степени в степень:

$(b^3)^{6n} = b^{3 \cdot 6n} = b^{18n}$.

Таким образом, окончательный результат:

$1 \cdot b^{18n} = b^{18n}$.

Ответ: $b^{18n}$