Номер 20.34, страница 102, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

20.34 Замените символ * таким выражением, чтобы выполнялось равенство:

а) $(*)^5 = a^{30}$;

б) $(z^*)^3 = z^{12}$;

в) $(*)^7 = b^{14}$;

г) $(p^{12})^* = p^{24}$.

Для решения данной задачи используется основное свойство степени: при возведении степени в степень основание остается тем же, а показатели перемножаются. Формула этого свойства: $(x^m)^n = x^{m \cdot n}$.

а) $(*)^5 = a^{30}$

Пусть выражение, которое нужно подставить вместо символа *, равно $X$. Тогда равенство имеет вид $(X)^5 = a^{30}$. Нам нужно найти такое выражение $X$, которое при возведении в пятую степень будет равно $a^{30}$. Если предположить, что $X$ имеет вид $a^m$, то, используя свойство степени, получим $(a^m)^5 = a^{m \cdot 5}$. Таким образом, нам нужно, чтобы выполнялось равенство $a^{5m} = a^{30}$. Это возможно, только если показатели степеней равны: $5m = 30$. Решая это простое уравнение, находим $m = 30 / 5 = 6$. Следовательно, искомое выражение — это $a^6$.

Проверка: $(a^6)^5 = a^{6 \cdot 5} = a^{30}$. Равенство верно.

Ответ: $a^6$.

б) $(z^*)^3 = z^{12}$

В этом случае символ * находится в показателе степени внутри скобок. Обозначим его за $m$. Тогда равенство примет вид $(z^m)^3 = z^{12}$. Применяя свойство возведения степени в степень, преобразуем левую часть: $(z^m)^3 = z^{m \cdot 3}$. Теперь равенство выглядит так: $z^{3m} = z^{12}$. Так как основания степеней одинаковы, мы можем приравнять их показатели: $3m = 12$. Отсюда находим $m = 12 / 3 = 4$. Значит, символ * нужно заменить числом 4.

Проверка: $(z^4)^3 = z^{4 \cdot 3} = z^{12}$. Равенство верно.

Ответ: 4.

в) $(*)^7 = b^{14}$

Это задание аналогично пункту а). Обозначим искомое выражение, стоящее вместо *, за $X$. Получаем равенство $(X)^7 = b^{14}$. Предположим, что $X = b^m$. Тогда, по свойству степени, $(b^m)^7 = b^{m \cdot 7}$. Нам нужно, чтобы $b^{7m} = b^{14}$. Приравниваем показатели степеней: $7m = 14$. Решая уравнение, находим $m = 14 / 7 = 2$. Таким образом, вместо символа * нужно подставить выражение $b^2$.

Проверка: $(b^2)^7 = b^{2 \cdot 7} = b^{14}$. Равенство верно.

Ответ: $b^2$.

г) $(p^{12})^* = p^{24}$

Здесь символ * является показателем степени, в которую возводится выражение в скобках. Обозначим его за $n$. Тогда равенство примет вид $(p^{12})^n = p^{24}$. Используя свойство степени, преобразуем левую часть: $(p^{12})^n = p^{12 \cdot n}$. Теперь равенство выглядит как $p^{12n} = p^{24}$. Приравниваем показатели степеней, так как основания равны: $12n = 24$. Отсюда находим $n = 24 / 12 = 2$. Значит, символ * следует заменить числом 2.

Проверка: $(p^{12})^2 = p^{12 \cdot 2} = p^{24}$. Равенство верно.

Ответ: 2.