Номер 20.8, страница 99, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

Часть 2. Глава 4. Степень с натуральным показателем и её свойства. Параграф 20. Свойства степени с натуральными показателями - номер 20.8, страница 99.

Условие.

Замените символ * степенью с основанием r так, чтобы выполня-

лось равенство:

20.8 а) $r^3 \cdot * = r^{11}$;

б) $* \cdot r^{14} = r^{15}$;

В) $r^{13} \cdot * \cdot r^{18} = r^{43}$;

Г) $* \cdot r^{21} \cdot r^{11} = r^{40}$.

Решение 1.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

Для решения данной задачи воспользуемся свойством умножения степеней с одинаковым основанием: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$. Чтобы найти неизвестный множитель, представленный символом *, мы должны найти такую степень с основанием $r$, чтобы сумма показателей всех степеней в левой части равенства была равна показателю степени в правой части.

а) Дано равенство: $r^3 \cdot * = r^{11}$.

Пусть * это $r^x$. Тогда получаем уравнение: $r^3 \cdot r^x = r^{11}$.

Используя свойство степеней, складываем показатели в левой части: $r^{3+x} = r^{11}$.

Так как основания равны, мы можем приравнять показатели степеней: $3 + x = 11$.

Решая это уравнение, находим $x$: $x = 11 - 3 = 8$.

Значит, символ * нужно заменить на $r^8$.

Ответ: $r^8$.

б) Дано равенство: $* \cdot r^{14} = r^{15}$.

Пусть * это $r^x$. Уравнение примет вид: $r^x \cdot r^{14} = r^{15}$.

Складываем показатели степеней: $r^{x+14} = r^{15}$.

Приравниваем показатели: $x + 14 = 15$.

Находим $x$: $x = 15 - 14 = 1$.

Следовательно, символ * нужно заменить на $r^1$ или просто $r$.

Ответ: $r$.

в) Дано равенство: $r^{13} \cdot * \cdot r^{18} = r^{43}$.

Пусть * это $r^x$. Тогда: $r^{13} \cdot r^x \cdot r^{18} = r^{43}$.

Складываем все показатели степеней в левой части: $r^{13+x+18} = r^{43}$.

Упрощаем сумму известных показателей: $r^{31+x} = r^{43}$.

Приравниваем показатели: $31 + x = 43$.

Решаем уравнение: $x = 43 - 31 = 12$.

Таким образом, символ * нужно заменить на $r^{12}$.

Ответ: $r^{12}$.

г) Дано равенство: $* \cdot r^{21} \cdot r^{11} = r^{40}$.

Пусть * это $r^x$. Получаем: $r^x \cdot r^{21} \cdot r^{11} = r^{40}$.

Складываем показатели: $r^{x+21+11} = r^{40}$.

Упрощаем сумму: $r^{x+32} = r^{40}$.

Приравниваем показатели: $x + 32 = 40$.

Находим $x$: $x = 40 - 32 = 8$.

Значит, символ * нужно заменить на $r^8$.

Ответ: $r^8$.