Номер 20.9, страница 99, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 20. Свойства степени с натуральными показателями. Глава 4. Степень с натуральным показателем и её свойства. Часть 2 - номер 20.9, страница 99.

Условие.

Замените символ * степенью с основанием r так, чтобы выполнялось равенство:

20.9 a) $r^{12} \cdot * \cdot r^3 \cdot * = r^{26}$,

б) $r^{44} \cdot * \cdot r \cdot * = r^{51}$,

В) $* \cdot r^7 \cdot * \cdot r^9 \cdot r^{13} = r^{48}$,

Г) $r \cdot r^{14} \cdot * \cdot r^{20} \cdot * = r^{72}$.

Решение 1.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

а)

Дано равенство: $r^{12} \cdot * \cdot r^3 \cdot * = r^{26}$.
Для решения этой задачи воспользуемся свойством умножения степеней с одинаковым основанием: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$.
Пусть искомая степень, которой нужно заменить каждый символ *, равна $r^x$. Тогда исходное равенство можно переписать в виде:
$r^{12} \cdot r^x \cdot r^3 \cdot r^x = r^{26}$
Применяя свойство умножения степеней, сложим все показатели в левой части уравнения:
$r^{12 + x + 3 + x} = r^{26}$
$r^{15 + 2x} = r^{26}$
Так как основания степеней равны, для выполнения равенства должны быть равны и их показатели:
$15 + 2x = 26$
$2x = 26 - 15$
$2x = 11$
$x = \frac{11}{2} = 5.5$
Значит, каждый символ * нужно заменить на $r^{5.5}$.
Ответ: $r^{5.5}$

б)

Дано равенство: $r^{44} \cdot * \cdot r \cdot * = r^{51}$.
Учтем, что $r$ — это $r^1$. Пусть * заменяется на $r^x$. Тогда:
$r^{44} \cdot r^x \cdot r^1 \cdot r^x = r^{51}$
Складываем показатели степеней в левой части:
$r^{44 + x + 1 + x} = r^{51}$
$r^{45 + 2x} = r^{51}$
Приравниваем показатели:
$45 + 2x = 51$
$2x = 51 - 45$
$2x = 6$
$x = 3$
Следовательно, каждый символ * нужно заменить на $r^3$.
Ответ: $r^3$

в)

Дано равенство: $* \cdot r^7 \cdot * \cdot r^9 \cdot r^{13} = r^{48}$.
Пусть * заменяется на $r^x$. Тогда:
$r^x \cdot r^7 \cdot r^x \cdot r^9 \cdot r^{13} = r^{48}$
Складываем показатели степеней в левой части:
$r^{x + 7 + x + 9 + 13} = r^{48}$
$r^{2x + 29} = r^{48}$
Приравниваем показатели:
$2x + 29 = 48$
$2x = 48 - 29$
$2x = 19$
$x = \frac{19}{2} = 9.5$
Следовательно, каждый символ * нужно заменить на $r^{9.5}$.
Ответ: $r^{9.5}$

г)

Дано равенство: $r \cdot r^{14} \cdot * \cdot r^{20} \cdot * = r^{72}$.
Учтем, что $r = r^1$. Пусть * заменяется на $r^x$. Тогда:
$r^1 \cdot r^{14} \cdot r^x \cdot r^{20} \cdot r^x = r^{72}$
Складываем показатели степеней в левой части:
$r^{1 + 14 + x + 20 + x} = r^{72}$
$r^{35 + 2x} = r^{72}$
Приравниваем показатели:
$35 + 2x = 72$
$2x = 72 - 35$
$2x = 37$
$x = \frac{37}{2} = 18.5$
Следовательно, каждый символ * нужно заменить на $r^{18.5}$.
Ответ: $r^{18.5}$