Номер 24.17, страница 113, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

24.17 В прямоугольном параллелепипеде длина в 2 раза больше ширины, а высота в 4 раза больше ширины. Найдите измерения прямоугольного параллелепипеда, если его объём равен $1000 \text{ см}^3$.

Для решения задачи введём переменную для одного из измерений прямоугольного параллелепипеда — ширины.

Пусть ширина параллелепипеда равна $x$ см.

Согласно условию, длина в 2 раза больше ширины, следовательно, длина равна $2x$ см.

Высота в 4 раза больше ширины, следовательно, высота равна $4x$ см.

Объём прямоугольного параллелепипеда ($V$) вычисляется как произведение его трёх измерений (длины, ширины и высоты):

$V = \text{длина} \cdot \text{ширина} \cdot \text{высота}$

По условию задачи, объём равен $1000 \text{ см}^3$. Подставим в формулу наши выражения для измерений и данное значение объёма, чтобы составить уравнение:

$1000 = (2x) \cdot x \cdot (4x)$

Теперь решим полученное уравнение относительно $x$:

$1000 = 8x^3$

Разделим обе части уравнения на 8, чтобы найти $x^3$:

$x^3 = \frac{1000}{8}$

$x^3 = 125$

Чтобы найти $x$, нужно извлечь кубический корень из 125:

$x = \sqrt[3]{125}$

$x = 5$

Таким образом, мы нашли ширину параллелепипеда — она равна 5 см.

Теперь найдём остальные измерения, подставив значение $x$:

• Длина: $2x = 2 \cdot 5 = 10$ см.
• Высота: $4x = 4 \cdot 5 = 20$ см.

Проверим результат, вычислив объём с найденными измерениями: $V = 10 \text{ см} \cdot 5 \text{ см} \cdot 20 \text{ см} = 1000 \text{ см}^3$. Результат совпадает с условием задачи.

Ответ: измерения параллелепипеда: ширина – 5 см, длина – 10 см, высота – 20 см.