Номер 25.2, страница 114, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

25.2 а) $3a^2b^3c$ и $4a^2b^3c$;

б) $6x^2$ и $15x^5$;

в) $17,8c^3d^6$ и $3,01c^{12}d^4$;

г) $\frac{3}{13}r^3s^2t^5$ и $\frac{11}{18}r^3s^2t^5$.

а) Чтобы найти наибольший общий делитель (НОД) одночленов $3a^2b^3c$ и $4a^2b^3c$, необходимо найти НОД их числовых коэффициентов и НОД их буквенных частей. Коэффициенты данных одночленов — это 3 и 4. Так как числа 3 и 4 не имеют общих делителей кроме 1, они являются взаимно простыми, и их наибольший общий делитель равен 1: $\text{НОД}(3, 4) = 1$. Буквенные части обоих одночленов одинаковы: $a^2b^3c$. Для нахождения НОД буквенных частей нужно взять каждую переменную с наименьшим показателем степени. В данном случае все показатели степеней у соответствующих переменных совпадают: для $a$ это 2, для $b$ это 3, для $c$ это 1. Таким образом, НОД буквенных частей равен $a^2b^3c$. Общий НОД одночленов равен произведению НОД коэффициентов и НОД буквенных частей: $1 \cdot a^2b^3c = a^2b^3c$.
Ответ: $a^2b^3c$

б) Рассмотрим одночлены $6x^2$ и $15x^5$. Сначала найдём наибольший общий делитель их коэффициентов 6 и 15. Разложим числа на простые множители: $6 = 2 \cdot 3$ и $15 = 3 \cdot 5$. Общим множителем является 3, следовательно, $\text{НОД}(6, 15) = 3$. Далее найдём НОД буквенных частей $x^2$ и $x^5$. Для этого берём переменную $x$ с наименьшим из показателей степеней 2 и 5. Наименьший показатель равен 2, поэтому НОД буквенных частей равен $x^2$. Перемножив НОД коэффициентов и НОД буквенных частей, получаем искомый НОД одночленов: $3x^2$.
Ответ: $3x^2$

в) Даны одночлены $17,8c^3d^6$ и $3,01c^{12}d^4$. Коэффициенты 17,8 и 3,01 не являются целыми числами. При нахождении НОД одночленов с нецелыми коэффициентами, как правило, находят НОД только для буквенной части, а НОД коэффициентов условно принимают за 1. Найдём НОД буквенных частей $c^3d^6$ и $c^{12}d^4$. Для переменной $c$ наименьший показатель степени — $\min(3, 12) = 3$. Для переменной $d$ наименьший показатель степени — $\min(6, 4) = 4$. Таким образом, НОД буквенных частей равен $c^3d^4$. Так как НОД коэффициентов равен 1, то НОД исходных одночленов равен $c^3d^4$.
Ответ: $c^3d^4$

г) Даны одночлены $\frac{3}{13}r^3s^2t^5$ и $\frac{11}{18}r^3s^2t^5$. Коэффициенты $\frac{3}{13}$ и $\frac{11}{18}$ являются дробными. Как и в предыдущем случае, для нахождения НОД таких одночленов принято считать НОД коэффициентов равным 1 и находить НОД только для буквенной части. Буквенные части обоих одночленов полностью совпадают: $r^3s^2t^5$. Показатели степеней для каждой переменной ($r, s, t$) в обоих одночленах равны, поэтому НОД буквенных частей будет равен этой же части: $r^3s^2t^5$. Умножая на НОД коэффициентов (который мы приняли за 1), получаем итоговый результат.
Ответ: $r^3s^2t^5$