Номер 26.25, страница 122, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

26.25 Представьте заданный одночлен A в виде $B^n$, где B — некоторый одночлен, если:

a) $A = 81a^6b^8c^{12}, n = 2;$

б) $A = 256x^4y^{12}z^{24}, n = 4;$

в) $A = 125x^3y^9z^{27}, n = 3;$

г) $A = 144a^6b^{10}c^{18}, n = 2.$

Для того чтобы представить заданный одночлен $A$ в виде $B^n$, необходимо найти одночлен $B$, который является корнем $n$-ой степени из $A$. Это означает, что нужно извлечь корень $n$-ой степени из числового коэффициента и разделить показатель степени каждой переменной в одночлене $A$ на $n$. Общая формула: если $A = B^n$, то $B = \sqrt[n]{A}$.

Задан одночлен $A = 81a^6b^8c^{12}$ и $n=2$. Необходимо найти одночлен $B$ такой, что $A = B^2$.Для этого найдем квадратный корень из одночлена $A$:$B = \sqrt{A} = \sqrt{81a^6b^8c^{12}}$.Используя свойство корня из произведения и свойство степеней, извлечем корень из каждого множителя:

• $\sqrt{81} = 9$
• $\sqrt{a^6} = (a^6)^{1/2} = a^{6/2} = a^3$
• $\sqrt{b^8} = (b^8)^{1/2} = b^{8/2} = b^4$
• $\sqrt{c^{12}} = (c^{12})^{1/2} = c^{12/2} = c^6$

Таким образом, искомый одночлен $B$ равен $9a^3b^4c^6$.Проверим результат: $(9a^3b^4c^6)^2 = 9^2(a^3)^2(b^4)^2(c^6)^2 = 81a^6b^8c^{12}$, что совпадает с исходным одночленом $A$.

Ответ: $B = 9a^3b^4c^6$.

Задан одночлен $A = 256x^4y^{12}z^{24}$ и $n=4$. Необходимо найти одночлен $B$ такой, что $A = B^4$.Для этого найдем корень 4-й степени из одночлена $A$:$B = \sqrt[4]{A} = \sqrt[4]{256x^4y^{12}z^{24}}$.Извлечем корень 4-й степени из каждого множителя:

• $\sqrt[4]{256} = 4$, так как $4^4 = 256$
• $\sqrt[4]{x^4} = (x^4)^{1/4} = x^{4/4} = x$
• $\sqrt[4]{y^{12}} = (y^{12})^{1/4} = y^{12/4} = y^3$
• $\sqrt[4]{z^{24}} = (z^{24})^{1/4} = z^{24/4} = z^6$

Таким образом, искомый одночлен $B$ равен $4xy^3z^6$.Проверим результат: $(4xy^3z^6)^4 = 4^4x^4(y^3)^4(z^6)^4 = 256x^4y^{12}z^{24}$, что совпадает с $A$.

Ответ: $B = 4xy^3z^6$.

Задан одночлен $A = 125x^3y^9z^{27}$ и $n=3$. Необходимо найти одночлен $B$ такой, что $A = B^3$.Для этого найдем кубический корень из одночлена $A$:$B = \sqrt[3]{A} = \sqrt[3]{125x^3y^9z^{27}}$.Извлечем кубический корень из каждого множителя:

• $\sqrt[3]{125} = 5$, так как $5^3 = 125$
• $\sqrt[3]{x^3} = (x^3)^{1/3} = x^{3/3} = x$
• $\sqrt[3]{y^9} = (y^9)^{1/3} = y^{9/3} = y^3$
• $\sqrt[3]{z^{27}} = (z^{27})^{1/3} = z^{27/3} = z^9$

Таким образом, искомый одночлен $B$ равен $5xy^3z^9$.Проверим результат: $(5xy^3z^9)^3 = 5^3x^3(y^3)^3(z^9)^3 = 125x^3y^9z^{27}$, что совпадает с $A$.

Ответ: $B = 5xy^3z^9$.

Задан одночлен $A = 144a^6b^{10}c^{18}$ и $n=2$. Необходимо найти одночлен $B$ такой, что $A = B^2$.Для этого найдем квадратный корень из одночлена $A$:$B = \sqrt{A} = \sqrt{144a^6b^{10}c^{18}}$.Извлечем квадратный корень из каждого множителя:

• $\sqrt{144} = 12$, так как $12^2 = 144$
• $\sqrt{a^6} = (a^6)^{1/2} = a^{6/2} = a^3$
• $\sqrt{b^{10}} = (b^{10})^{1/2} = b^{10/2} = b^5$
• $\sqrt{c^{18}} = (c^{18})^{1/2} = c^{18/2} = c^9$

Таким образом, искомый одночлен $B$ равен $12a^3b^5c^9$.Проверим результат: $(12a^3b^5c^9)^2 = 12^2(a^3)^2(b^5)^2(c^9)^2 = 144a^6b^{10}c^{18}$, что совпадает с $A$.

Ответ: $B = 12a^3b^5c^9$.