Номер 26.32, страница 123, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

26.32 a) $(-6a^3x^2)^2 \cdot \left(-\frac{1}{3}a^2x^2\right)^3;$

Б) $(-3m^3n^2)^5 \cdot \left(-\frac{1}{3}mn^4\right)^4;$

В) $\left(-\frac{1}{9}a^2c^4\right)^2 \cdot (-3a^5c^3)^2;$

Г) $\left(-\frac{3}{2}a^7b^4\right)^2 \cdot \left(-\frac{2}{3}a^6b\right)^0.$

а) Чтобы упростить выражение $ (-6a^3x^2)^2 \cdot (-\frac{1}{3}a^2x^2)^3 $, необходимо последовательно выполнить следующие действия.
1. Возведем в степень каждый из одночленов-множителей, используя правило возведения в степень произведения $ (xyz)^n = x^n y^n z^n $ и правило возведения степени в степень $ (x^m)^n = x^{mn} $.
Для первого множителя: $ (-6a^3x^2)^2 = (-6)^2 \cdot (a^3)^2 \cdot (x^2)^2 = 36 \cdot a^{3 \cdot 2} \cdot x^{2 \cdot 2} = 36a^6x^4 $.
Для второго множителя: $ (-\frac{1}{3}a^2x^2)^3 = (-\frac{1}{3})^3 \cdot (a^2)^3 \cdot (x^2)^3 = -\frac{1}{27} \cdot a^{2 \cdot 3} \cdot x^{2 \cdot 3} = -\frac{1}{27}a^6x^6 $.
2. Перемножим полученные результаты: $ (36a^6x^4) \cdot (-\frac{1}{27}a^6x^6) $.
3. Сгруппируем и перемножим числовые коэффициенты и степени с одинаковыми основаниями:
$ (36 \cdot (-\frac{1}{27})) \cdot (a^6 \cdot a^6) \cdot (x^4 \cdot x^6) = -\frac{36}{27} \cdot a^{6+6} \cdot x^{4+6} = -\frac{4}{3}a^{12}x^{10} $.
Ответ: $ -\frac{4}{3}a^{12}x^{10} $

б) Упростим выражение $ (-3m^3n^2)^5 \cdot (-\frac{1}{3}mn^4)^4 $.
1. Возведем в степень каждый одночлен:
$ (-3m^3n^2)^5 = (-3)^5 \cdot (m^3)^5 \cdot (n^2)^5 = -243m^{15}n^{10} $.
$ (-\frac{1}{3}mn^4)^4 = (-\frac{1}{3})^4 \cdot m^4 \cdot (n^4)^4 = \frac{1}{81}m^4n^{16} $. (Знак минус исчезает, так как степень четная).
2. Перемножим полученные одночлены:
$ (-243m^{15}n^{10}) \cdot (\frac{1}{81}m^4n^{16}) = (-243 \cdot \frac{1}{81}) \cdot (m^{15} \cdot m^4) \cdot (n^{10} \cdot n^{16}) $.
3. Упростим коэффициенты и переменные:
$ -\frac{243}{81} \cdot m^{15+4} \cdot n^{10+16} = -3m^{19}n^{26} $.
Ответ: $ -3m^{19}n^{26} $

в) Упростим выражение $ (-\frac{1}{9}a^2c^4)^2 \cdot (-3a^5c^3)^2 $.
1. Возведем в степень каждый одночлен (в обоих случаях степень четная, поэтому результат будет положительным):
$ (-\frac{1}{9}a^2c^4)^2 = (-\frac{1}{9})^2 \cdot (a^2)^2 \cdot (c^4)^2 = \frac{1}{81}a^4c^8 $.
$ (-3a^5c^3)^2 = (-3)^2 \cdot (a^5)^2 \cdot (c^3)^2 = 9a^{10}c^6 $.
2. Перемножим полученные результаты:
$ (\frac{1}{81}a^4c^8) \cdot (9a^{10}c^6) = (\frac{1}{81} \cdot 9) \cdot (a^4 \cdot a^{10}) \cdot (c^8 \cdot c^6) $.
3. Упростим выражение:
$ \frac{9}{81} \cdot a^{4+10} \cdot c^{8+6} = \frac{1}{9}a^{14}c^{14} $.
Ответ: $ \frac{1}{9}a^{14}c^{14} $

г) Упростим выражение $ (-\frac{3}{2}a^7b^4)^2 \cdot (-\frac{2}{3}a^6b)^0 $.
1. Вспомним свойство степени: любое ненулевое число (или выражение) в нулевой степени равно 1. Следовательно, $ (-\frac{2}{3}a^6b)^0 = 1 $ (при условии, что $ a \neq 0 $ и $ b \neq 0 $).
2. Выражение принимает вид: $ (-\frac{3}{2}a^7b^4)^2 \cdot 1 = (-\frac{3}{2}a^7b^4)^2 $.
3. Возведем оставшийся одночлен в квадрат:
$ (-\frac{3}{2}a^7b^4)^2 = (-\frac{3}{2})^2 \cdot (a^7)^2 \cdot (b^4)^2 = \frac{9}{4}a^{7 \cdot 2}b^{4 \cdot 2} = \frac{9}{4}a^{14}b^8 $.
Ответ: $ \frac{9}{4}a^{14}b^8 $