Номер 26.34, страница 123, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

26.34 Вместо символов * запишите такие одночлены, чтобы получилось верное равенство:

а) $(*)^2 \cdot (*)^3 = 4a^3b^2c^5$

б) $(*)^3 \cdot (*)^2 = -27p^3x^4y^2$

в) $(*)^4 \cdot (*)^3 = 8c^4d^{13}n^3$

г) $(*)^5 \cdot (*)^2 = 81b^{13}n^5t^4$

Заданное равенство: $ (*)^2 \cdot (*)^3 = 4a^3b^2c^5 $. Обозначим первый одночлен как $M_1$, а второй — как $M_2$. Тогда равенство можно записать в виде $ (M_1)^2 \cdot (M_2)^3 = 4a^3b^2c^5 $. Представим искомые одночлены в общем виде: $ M_1 = k_1 a^{x_1} b^{y_1} c^{z_1} $ и $ M_2 = k_2 a^{x_2} b^{y_2} c^{z_2} $. Подставив эти выражения в равенство и раскрыв скобки, получим:

$ (k_1 a^{x_1} b^{y_1} c^{z_1})^2 \cdot (k_2 a^{x_2} b^{y_2} c^{z_2})^3 = k_1^2 k_2^3 \cdot a^{2x_1+3x_2} \cdot b^{2y_1+3y_2} \cdot c^{2z_1+3z_2} $

Сравнивая полученное выражение с правой частью равенства $ 4a^3b^2c^5 $, мы можем составить систему уравнений для коэффициентов и показателей степеней для каждой переменной:

$ k_1^2 k_2^3 = 4 $

$ 2x_1 + 3x_2 = 3 $ (для переменной $a$)

$ 2y_1 + 3y_2 = 2 $ (для переменной $b$)

$ 2z_1 + 3z_2 = 5 $ (для переменной $c$)

Решим эти уравнения, подбирая целые неотрицательные решения. Из уравнения для коэффициентов $ k_1^2 k_2^3 = 4 $ выберем простое решение в целых числах: пусть $k_2=1$, тогда $k_1^2=4$, откуда $k_1=2$. Из уравнения для показателей степени $a$: $ 2x_1 + 3x_2 = 3 $. Единственное решение в неотрицательных целых числах: $x_1=0, x_2=1$. Из уравнения для $b$: $ 2y_1 + 3y_2 = 2 $. Единственное решение: $y_1=1, y_2=0$. Из уравнения для $c$: $ 2z_1 + 3z_2 = 5 $. Единственное решение: $z_1=1, z_2=1$.

Теперь соберем одночлены на основе найденных значений: $ M_1 = k_1 a^{x_1} b^{y_1} c^{z_1} = 2 a^0 b^1 c^1 = 2bc $. $ M_2 = k_2 a^{x_2} b^{y_2} c^{z_2} = 1 a^1 b^0 c^1 = ac $.

Ответ: $(2bc)^2 \cdot (ac)^3 = 4a^3b^2c^5$.

Заданное равенство: $ (*)^3 \cdot (*)^2 = -27p^3x^4y^2 $. Обозначим одночлены как $M_1$ и $M_2$: $ (M_1)^3 \cdot (M_2)^2 = -27p^3x^4y^2 $. Пусть $ M_1 = k_1 p^{x_1} x^{y_1} y^{z_1} $ и $ M_2 = k_2 p^{x_2} x^{y_2} y^{z_2} $. После подстановки и возведения в степень получаем:

$ k_1^3 k_2^2 \cdot p^{3x_1+2x_2} \cdot x^{3y_1+2y_2} \cdot y^{3z_1+2z_2} = -27p^3x^4y^2 $

Приравнивая коэффициенты и показатели степеней, получаем систему:

$ k_1^3 k_2^2 = -27 $

$ 3x_1 + 2x_2 = 3 $ (для переменной $p$)

$ 3y_1 + 2y_2 = 4 $ (для переменной $x$)

$ 3z_1 + 2z_2 = 2 $ (для переменной $y$)

Решаем систему в целых неотрицательных числах. Из $ k_1^3 k_2^2 = -27 $, так как $k_2^2 > 0$, то $k_1^3$ должно быть отрицательным. Пусть $k_1 = -3$, тогда $(-3)^3 k_2^2 = -27$, $-27k_2^2 = -27$, $k_2^2=1$, откуда $k_2=1$. Для $p$: $ 3x_1 + 2x_2 = 3 \implies x_1=1, x_2=0 $. Для $x$: $ 3y_1 + 2y_2 = 4 \implies y_1=0, y_2=2 $. Для $y$: $ 3z_1 + 2z_2 = 2 \implies z_1=0, z_2=1 $.

Собираем одночлены: $ M_1 = k_1 p^{x_1} x^{y_1} y^{z_1} = -3 p^1 x^0 y^0 = -3p $. $ M_2 = k_2 p^{x_2} x^{y_2} y^{z_2} = 1 p^0 x^2 y^1 = x^2y $.

Ответ: $(-3p)^3 \cdot (x^2y)^2 = -27p^3x^4y^2$.

Заданное равенство: $ (*)^4 \cdot (*)^3 = 8c^4d^{13}n^3 $. Обозначим одночлены как $M_1$ и $M_2$: $ (M_1)^4 \cdot (M_2)^3 = 8c^4d^{13}n^3 $. Пусть $ M_1 = k_1 c^{x_1} d^{y_1} n^{z_1} $ и $ M_2 = k_2 c^{x_2} d^{y_2} n^{z_2} $. После подстановки получаем:

$ k_1^4 k_2^3 \cdot c^{4x_1+3x_2} \cdot d^{4y_1+3y_2} \cdot n^{4z_1+3z_2} = 8c^4d^{13}n^3 $

Система уравнений:

$ k_1^4 k_2^3 = 8 $

$ 4x_1 + 3x_2 = 4 $ (для переменной $c$)

$ 4y_1 + 3y_2 = 13 $ (для переменной $d$)

$ 4z_1 + 3z_2 = 3 $ (для переменной $n$)

Решаем систему в целых неотрицательных числах. Из $ k_1^4 k_2^3 = 8 $, так как $k_1^4 > 0$, $k_2^3$ должно быть положительным. Пусть $k_2=2$, тогда $k_1^4 \cdot 2^3 = 8$, $8k_1^4 = 8$, $k_1^4 = 1$, откуда $k_1=1$. Для $c$: $ 4x_1 + 3x_2 = 4 \implies x_1=1, x_2=0 $. Для $d$: $ 4y_1 + 3y_2 = 13 \implies y_1=1, y_2=3 $. Для $n$: $ 4z_1 + 3z_2 = 3 \implies z_1=0, z_2=1 $.

Собираем одночлены: $ M_1 = k_1 c^{x_1} d^{y_1} n^{z_1} = 1 c^1 d^1 n^0 = cd $. $ M_2 = k_2 c^{x_2} d^{y_2} n^{z_2} = 2 c^0 d^3 n^1 = 2d^3n $.

Ответ: $(cd)^4 \cdot (2d^3n)^3 = 8c^4d^{13}n^3$.

Заданное равенство: $ (*)^5 \cdot (*)^2 = 81b^{13}n^5t^4 $. Обозначим одночлены как $M_1$ и $M_2$: $ (M_1)^5 \cdot (M_2)^2 = 81b^{13}n^5t^4 $. Пусть $ M_1 = k_1 b^{x_1} n^{y_1} t^{z_1} $ и $ M_2 = k_2 b^{x_2} n^{y_2} t^{z_2} $. После подстановки получаем:

$ k_1^5 k_2^2 \cdot b^{5x_1+2x_2} \cdot n^{5y_1+2y_2} \cdot t^{5z_1+2z_2} = 81b^{13}n^5t^4 $

Система уравнений:

$ k_1^5 k_2^2 = 81 $

$ 5x_1 + 2x_2 = 13 $ (для переменной $b$)

$ 5y_1 + 2y_2 = 5 $ (для переменной $n$)

$ 5z_1 + 2z_2 = 4 $ (для переменной $t$)

Решаем систему в целых неотрицательных числах. Из $ k_1^5 k_2^2 = 81 $, подберем целые значения. Пусть $k_1=1$, тогда $k_2^2 = 81$, откуда $k_2=9$. Для $b$: $ 5x_1 + 2x_2 = 13 \implies x_1=1, x_2=4 $. Для $n$: $ 5y_1 + 2y_2 = 5 \implies y_1=1, y_2=0 $. Для $t$: $ 5z_1 + 2z_2 = 4 \implies z_1=0, z_2=2 $.

Собираем одночлены: $ M_1 = k_1 b^{x_1} n^{y_1} t^{z_1} = 1 b^1 n^1 t^0 = bn $. $ M_2 = k_2 b^{x_2} n^{y_2} t^{z_2} = 9 b^4 n^0 t^2 = 9b^4t^2 $.

Ответ: $(bn)^5 \cdot (9b^4t^2)^2 = 81b^{13}n^5t^4$.