Номер 26.29, страница 123, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

Упростите выражение:

26.29 а) $(10a^2y)^2 \cdot (3ay^2)^3;$

б) $(-\frac{1}{2}xy^3)^3 \cdot (4y^5)^2;$

в) $-(3x^6y^2)^3 \cdot (-x^2y)^4;$

г) $(-5ab^6)^4 \cdot (0,3a^6b)^4.$

а) Чтобы упростить выражение $(10a^2y)^2 \cdot (3ay^2)^3$, воспользуемся свойствами степеней.
Сначала возведем каждый одночлен в соответствующую степень, используя правило возведения произведения в степень $(xyz)^n = x^n y^n z^n$ и правило возведения степени в степень $(x^m)^n = x^{m \cdot n}$:
$(10a^2y)^2 = 10^2 \cdot (a^2)^2 \cdot y^2 = 100a^{2 \cdot 2}y^2 = 100a^4y^2$.
$(3ay^2)^3 = 3^3 \cdot a^3 \cdot (y^2)^3 = 27a^3y^{2 \cdot 3} = 27a^3y^6$.
Теперь перемножим полученные одночлены:
$100a^4y^2 \cdot 27a^3y^6$.
Сгруппируем коэффициенты и переменные с одинаковыми основаниями:
$(100 \cdot 27) \cdot (a^4 \cdot a^3) \cdot (y^2 \cdot y^6)$.
Используя правило умножения степеней с одинаковыми основаниями $x^m \cdot x^n = x^{m+n}$, получим:
$2700 \cdot a^{4+3} \cdot y^{2+6} = 2700a^7y^8$.
Ответ: $2700a^7y^8$.

б) Упростим выражение $(-\frac{1}{2}xy^3)^3 \cdot (4y^5)^2$.
Возведем каждый одночлен в степень:
$(-\frac{1}{2}xy^3)^3 = (-\frac{1}{2})^3 \cdot x^3 \cdot (y^3)^3 = -\frac{1}{8}x^3y^{3 \cdot 3} = -\frac{1}{8}x^3y^9$.
$(4y^5)^2 = 4^2 \cdot (y^5)^2 = 16y^{5 \cdot 2} = 16y^{10}$.
Перемножим результаты:
$(-\frac{1}{8}x^3y^9) \cdot (16y^{10})$.
Сгруппируем и вычислим:
$(-\frac{1}{8} \cdot 16) \cdot x^3 \cdot (y^9 \cdot y^{10}) = -2x^3y^{9+10} = -2x^3y^{19}$.
Ответ: $-2x^3y^{19}$.

в) Упростим выражение $-(3x^6y^2)^3 \cdot (-x^2y)^4$.
Сначала раскроем скобки, возведя каждый одночлен в степень:
$(3x^6y^2)^3 = 3^3 \cdot (x^6)^3 \cdot (y^2)^3 = 27x^{18}y^6$.
$(-x^2y)^4$. Так как степень четная (4), знак минус исчезает: $(-1)^4=1$.
$(-x^2y)^4 = (-1)^4 \cdot (x^2)^4 \cdot y^4 = x^8y^4$.
Подставим полученные выражения в исходное:
$-(27x^{18}y^6) \cdot (x^8y^4)$.
Знак минус перед первым множителем сохраняется. Теперь перемножим одночлены:
$-27 \cdot (x^{18} \cdot x^8) \cdot (y^6 \cdot y^4) = -27x^{18+8}y^{6+4} = -27x^{26}y^{10}$.
Ответ: $-27x^{26}y^{10}$.

г) Упростим выражение $(-5ab^6)^4 \cdot (0,3a^6b)^4$.
Поскольку оба множителя возводятся в одну и ту же степень, мы можем использовать свойство $(x \cdot y)^n = x^n y^n$ в обратном порядке $x^n y^n = (x \cdot y)^n$:
$(-5ab^6 \cdot 0,3a^6b)^4$.
Сначала упростим выражение в скобках, перемножив одночлены:
$(-5 \cdot 0,3) \cdot (a^1 \cdot a^6) \cdot (b^6 \cdot b^1) = -1,5a^{1+6}b^{6+1} = -1,5a^7b^7$.
Теперь возведем полученный одночлен в четвертую степень:
$(-1,5a^7b^7)^4 = (-1,5)^4 \cdot (a^7)^4 \cdot (b^7)^4$.
Вычислим каждый множитель:
$(-1,5)^4 = (1,5)^2 \cdot (1,5)^2 = 2,25 \cdot 2,25 = 5,0625$.
$(a^7)^4 = a^{7 \cdot 4} = a^{28}$.
$(b^7)^4 = b^{7 \cdot 4} = b^{28}$.
Соберем все вместе:
$5,0625a^{28}b^{28}$.
Ответ: $5,0625a^{28}b^{28}$.