Номер 26.33, страница 123, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

26.33 Решите уравнение:

а) $ (5x^2)^3 \cdot (2x^3)^5 = 2^2 \cdot 10^3; $

б) $ (9x^4)^2 \cdot \left(\frac{1}{2}x^2\right)^8 = \left(\frac{3}{4}\right)^4; $

в) $ (3x^3)^4 \cdot (4x^5)^3 = -72^2; $

г) $ (8x^5)^2 \cdot \left(\frac{1}{5}x^4\right)^3 = \left(\frac{4}{5}\right)^3. $

а) $(5x^2)^3 \cdot (2x^3)^5 = 2^2 \cdot 10^3$

Упростим левую часть уравнения, используя свойства степеней $(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n$ и $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:
$(5x^2)^3 = 5^3 \cdot (x^2)^3 = 125x^6$
$(2x^3)^5 = 2^5 \cdot (x^3)^5 = 32x^{15}$
Теперь перемножим полученные выражения, используя свойство $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:
$125x^6 \cdot 32x^{15} = (125 \cdot 32) \cdot (x^6 \cdot x^{15}) = 4000x^{21}$
Упростим правую часть уравнения:
$2^2 \cdot 10^3 = 4 \cdot 1000 = 4000$
Приравняем левую и правую части:
$4000x^{21} = 4000$
Разделим обе части на 4000:
$x^{21} = 1$
Извлекая корень нечетной степени, получаем единственный действительный корень:
$x = 1$

Ответ: $x=1$

б) $(9x^4)^2 \cdot \left(\frac{1}{2}x^2\right)^8 = \left(\frac{3}{4}\right)^4$

Упростим левую часть уравнения:
$(9x^4)^2 = 9^2 \cdot (x^4)^2 = 81x^8$
$\left(\frac{1}{2}x^2\right)^8 = \left(\frac{1}{2}\right)^8 \cdot (x^2)^8 = \frac{1}{256}x^{16}$
Перемножим полученные выражения:
$81x^8 \cdot \frac{1}{256}x^{16} = \frac{81}{256}x^{8+16} = \frac{81}{256}x^{24}$
Упростим правую часть уравнения:
$\left(\frac{3}{4}\right)^4 = \frac{3^4}{4^4} = \frac{81}{256}$
Получаем уравнение:
$\frac{81}{256}x^{24} = \frac{81}{256}$
Разделим обе части на $\frac{81}{256}$:
$x^{24} = 1$
Так как показатель степени 24 - четное число, уравнение имеет два действительных корня:
$x = 1$ и $x = -1$

Ответ: $x=1$; $x=-1$

в) $(3x^3)^4 \cdot (4x^5)^3 = -72^2$

Упростим левую часть уравнения:
$(3x^3)^4 = 3^4 \cdot (x^3)^4 = 81x^{12}$
$(4x^5)^3 = 4^3 \cdot (x^5)^3 = 64x^{15}$
Перемножим полученные выражения:
$81x^{12} \cdot 64x^{15} = (81 \cdot 64) \cdot x^{12+15} = 5184x^{27}$
Вычислим правую часть уравнения:
$-72^2 = -(72 \cdot 72) = -5184$
Получаем уравнение:
$5184x^{27} = -5184$
Разделим обе части на 5184:
$x^{27} = -1$
Так как показатель степени 27 - нечетное число, уравнение имеет один действительный корень:
$x = \sqrt[27]{-1} = -1$

Ответ: $x=-1$

г) $(8x^5)^2 \cdot \left(\frac{1}{5}x^4\right)^3 = \left(\frac{4}{5}\right)^3$

Упростим левую часть уравнения:
$(8x^5)^2 = 8^2 \cdot (x^5)^2 = 64x^{10}$
$\left(\frac{1}{5}x^4\right)^3 = \left(\frac{1}{5}\right)^3 \cdot (x^4)^3 = \frac{1}{125}x^{12}$
Перемножим полученные выражения:
$64x^{10} \cdot \frac{1}{125}x^{12} = \frac{64}{125}x^{10+12} = \frac{64}{125}x^{22}$
Упростим правую часть уравнения:
$\left(\frac{4}{5}\right)^3 = \frac{4^3}{5^3} = \frac{64}{125}$
Получаем уравнение:
$\frac{64}{125}x^{22} = \frac{64}{125}$
Разделим обе части на $\frac{64}{125}$:
$x^{22} = 1$
Так как показатель степени 22 - четное число, уравнение имеет два действительных корня:
$x = 1$ и $x = -1$

Ответ: $x=1$; $x=-1$