Номер 26.26, страница 122, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

26.26 Представьте заданный одночлен $C$ в виде $D^n$, где $D$ — некоторый одночлен, если:

а) $C = 216c^9b^{12}f^{27}$, $n = 3;$

б) $C = 243x^{10}y^{25}z^{40}$, $n = 5;$

в) $C = 1024p^{20}q^{100}r^{1000}$, $n = 10;$

г) $C = 256a^{36}b^{216}c^{1296}$, $n = 4.$

Для того чтобы представить одночлен $C$ в виде $D^n$, необходимо найти одночлен $D$, который является корнем $n$-ой степени из одночлена $C$. Это делается по формуле:$D = \sqrt[n]{C} = \sqrt[n]{k \cdot v_1^{p_1} \cdot v_2^{p_2} \cdot \ldots} = \sqrt[n]{k} \cdot v_1^{p_1/n} \cdot v_2^{p_2/n} \cdot \ldots$, где $k$ - числовой коэффициент, а $v_i^{p_i}$ - переменные в соответствующих степенях.

а) Дано: $C = 216c^9b^{12}f^{27}$, $n = 3$.
Требуется представить $C$ в виде $D^3$. Найдем $D$, извлекая корень третьей степени из каждого множителя одночлена $C$.
$D = \sqrt[3]{216c^9b^{12}f^{27}} = \sqrt[3]{216} \cdot (c^9)^{1/3} \cdot (b^{12})^{1/3} \cdot (f^{27})^{1/3}$.
Вычислим каждый множитель:
1. Числовой коэффициент: $\sqrt[3]{216} = 6$, так как $6 \cdot 6 \cdot 6 = 216$.
2. Переменные (делим показатели степеней на 3):
$c^{9/3} = c^3$
$b^{12/3} = b^4$
$f^{27/3} = f^9$
Следовательно, $D = 6c^3b^4f^9$.
Проверка: $(6c^3b^4f^9)^3 = 6^3 \cdot (c^3)^3 \cdot (b^4)^3 \cdot (f^9)^3 = 216c^9b^{12}f^{27}$.
Ответ: $C = (6c^3b^4f^9)^3$.

б) Дано: $C = 243x^{10}y^{25}z^{40}$, $n = 5$.
Требуется представить $C$ в виде $D^5$. Найдем $D$, извлекая корень пятой степени из $C$.
$D = \sqrt[5]{243x^{10}y^{25}z^{40}} = \sqrt[5]{243} \cdot (x^{10})^{1/5} \cdot (y^{25})^{1/5} \cdot (z^{40})^{1/5}$.
Вычислим каждый множитель:
1. Числовой коэффициент: $\sqrt[5]{243} = 3$, так как $3^5 = 243$.
2. Переменные (делим показатели степеней на 5):
$x^{10/5} = x^2$
$y^{25/5} = y^5$
$z^{40/5} = z^8$
Следовательно, $D = 3x^2y^5z^8$.
Проверка: $(3x^2y^5z^8)^5 = 3^5 \cdot (x^2)^5 \cdot (y^5)^5 \cdot (z^8)^5 = 243x^{10}y^{25}z^{40}$.
Ответ: $C = (3x^2y^5z^8)^5$.

в) Дано: $C = 1024p^{20}q^{100}r^{1000}$, $n = 10$.
Требуется представить $C$ в виде $D^{10}$. Найдем $D$, извлекая корень десятой степени из $C$.
$D = \sqrt[10]{1024p^{20}q^{100}r^{1000}} = \sqrt[10]{1024} \cdot (p^{20})^{1/10} \cdot (q^{100})^{1/10} \cdot (r^{1000})^{1/10}$.
Вычислим каждый множитель:
1. Числовой коэффициент: $\sqrt[10]{1024} = 2$, так как $2^{10} = 1024$.
2. Переменные (делим показатели степеней на 10):
$p^{20/10} = p^2$
$q^{100/10} = q^{10}$
$r^{1000/10} = r^{100}$
Следовательно, $D = 2p^2q^{10}r^{100}$.
Проверка: $(2p^2q^{10}r^{100})^{10} = 2^{10} \cdot (p^2)^{10} \cdot (q^{10})^{10} \cdot (r^{100})^{10} = 1024p^{20}q^{100}r^{1000}$.
Ответ: $C = (2p^2q^{10}r^{100})^{10}$.

г) Дано: $C = 256a^{36}b^{216}c^{1296}$, $n = 4$.
Требуется представить $C$ в виде $D^4$. Найдем $D$, извлекая корень четвертой степени из $C$.
$D = \sqrt[4]{256a^{36}b^{216}c^{1296}} = \sqrt[4]{256} \cdot (a^{36})^{1/4} \cdot (b^{216})^{1/4} \cdot (c^{1296})^{1/4}$.
Вычислим каждый множитель:
1. Числовой коэффициент: $\sqrt[4]{256} = 4$, так как $4^4 = 256$.
2. Переменные (делим показатели степеней на 4):
$a^{36/4} = a^9$
$b^{216/4} = b^{54}$
$c^{1296/4} = c^{324}$
Следовательно, $D = 4a^9b^{54}c^{324}$.
Проверка: $(4a^9b^{54}c^{324})^4 = 4^4 \cdot (a^9)^4 \cdot (b^{54})^4 \cdot (c^{324})^4 = 256a^{36}b^{216}c^{1296}$.
Ответ: $C = (4a^9b^{54}c^{324})^4$.