Номер 31.16, страница 139, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

Часть 2. Глава 6. Многочлены. Арифметические операции над многочленами. Параграф 31. Умножение многочлена на одночлен - номер 31.16, страница 139.

Условие.

31.16 Пусть $a = 3x^2 + 4x - 8$, $b = 2x^2 - 7x + 12$, $c = 5x^2 + 3x - 27$.

По данному ниже условию составьте выражение и преобразуйте его в многочлен стандартного вида, записанный по степеням убывания переменной $x$:

a) $2a + 3c - 4b$;

б) $7ax - 12xb + 15xc - 13$;

в) $72xa - 4b + 3xc + 4$;

г) $0,1x^2a + 0,5xc - 0,6x^3b - 17$.

Решение 1.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

Даны многочлены: $a = 3x^2 + 4x - 8$, $b = 2x^2 - 7x + 12$, $c = 5x^2 + 3x - 27$.

Необходимо составить выражения по заданным условиям и преобразовать их в многочлены стандартного вида, записанные по степеням убывания переменной $x$.

а) $2a + 3c - 4b$

Подставим данные многочлены в выражение:

$2(3x^2 + 4x - 8) + 3(5x^2 + 3x - 27) - 4(2x^2 - 7x + 12)$

Раскроем скобки, умножая каждый член многочлена на соответствующий коэффициент:

$= (6x^2 + 8x - 16) + (15x^2 + 9x - 81) - (8x^2 - 28x + 48)$

Снимем скобки, меняя знаки в последнем выражении на противоположные:

$= 6x^2 + 8x - 16 + 15x^2 + 9x - 81 - 8x^2 + 28x - 48$

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$= (6x^2 + 15x^2 - 8x^2) + (8x + 9x + 28x) + (-16 - 81 - 48)$

$= 13x^2 + 45x - 145$

Ответ: $13x^2 + 45x - 145$

б) $7ax - 12xb + 15xc - 13$

Преобразуем выражение, вынеся общий множитель $x$ за скобки:

$(7a - 12b + 15c)x - 13$

Сначала вычислим выражение в скобках $7a - 12b + 15c$:

$7(3x^2 + 4x - 8) - 12(2x^2 - 7x + 12) + 15(5x^2 + 3x - 27)$

$= (21x^2 + 28x - 56) - (24x^2 - 84x + 144) + (75x^2 + 45x - 405)$

$= 21x^2 + 28x - 56 - 24x^2 + 84x - 144 + 75x^2 + 45x - 405$

Приведем подобные слагаемые:

$= (21 - 24 + 75)x^2 + (28 + 84 + 45)x + (-56 - 144 - 405)$

$= 72x^2 + 157x - 605$

Теперь умножим полученный многочлен на $x$ и вычтем 13:

$(72x^2 + 157x - 605)x - 13 = 72x^3 + 157x^2 - 605x - 13$

Ответ: $72x^3 + 157x^2 - 605x - 13$

в) $72xa - 4b + 3xc + 4$

Подставим многочлены в выражение:

$72x(3x^2 + 4x - 8) - 4(2x^2 - 7x + 12) + 3x(5x^2 + 3x - 27) + 4$

Раскроем скобки:

$= (216x^3 + 288x^2 - 576x) - (8x^2 - 28x + 48) + (15x^3 + 9x^2 - 81x) + 4$

Снимем скобки:

$= 216x^3 + 288x^2 - 576x - 8x^2 + 28x - 48 + 15x^3 + 9x^2 - 81x + 4$

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$= (216x^3 + 15x^3) + (288x^2 - 8x^2 + 9x^2) + (-576x + 28x - 81x) + (-48 + 4)$

$= 231x^3 + 289x^2 - 629x - 44$

Ответ: $231x^3 + 289x^2 - 629x - 44$

г) $0,1x^2a + 0,5xc - 0,6x^3b - 17$

Подставим многочлены в выражение:

$0,1x^2(3x^2 + 4x - 8) + 0,5x(5x^2 + 3x - 27) - 0,6x^3(2x^2 - 7x + 12) - 17$

Выполним умножение и раскроем скобки:

$= (0,3x^4 + 0,4x^3 - 0,8x^2) + (2,5x^3 + 1,5x^2 - 13,5x) - (1,2x^5 - 4,2x^4 + 7,2x^3) - 17$

Снимем скобки:

$= 0,3x^4 + 0,4x^3 - 0,8x^2 + 2,5x^3 + 1,5x^2 - 13,5x - 1,2x^5 + 4,2x^4 - 7,2x^3 - 17$

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые, располагая их по убыванию степеней $x$:

$= -1,2x^5 + (0,3x^4 + 4,2x^4) + (0,4x^3 + 2,5x^3 - 7,2x^3) + (-0,8x^2 + 1,5x^2) - 13,5x - 17$

$= -1,2x^5 + 4,5x^4 - 4,3x^3 + 0,7x^2 - 13,5x - 17$

Ответ: $-1,2x^5 + 4,5x^4 - 4,3x^3 + 0,7x^2 - 13,5x - 17$