Номер 31.19, страница 139, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

31.19 Докажите, что выражение $6x(x - 3) - 9(x^2 - 2x + 4)$ при любом значении переменной $x$ принимает отрицательное значение.

Чтобы доказать, что выражение $6x(x - 3) - 9(x^2 - 2x + 4)$ при любом значении переменной $x$ принимает отрицательное значение, необходимо его упростить.

1. Сначала раскроем скобки в выражении. Для этого умножим одночлены на многочлены:

$6x(x - 3) = 6x \cdot x + 6x \cdot (-3) = 6x^2 - 18x$

$-9(x^2 - 2x + 4) = -9 \cdot x^2 - 9 \cdot (-2x) - 9 \cdot 4 = -9x^2 + 18x - 36$

2. Теперь подставим полученные результаты в исходное выражение и приведем подобные слагаемые (члены с одинаковой переменной в одинаковой степени):

$(6x^2 - 18x) + (-9x^2 + 18x - 36) = 6x^2 - 18x - 9x^2 + 18x - 36$

Сгруппируем подобные члены:

$(6x^2 - 9x^2) + (-18x + 18x) - 36 = -3x^2 + 0 - 36 = -3x^2 - 36$

3. В результате упрощения мы получили выражение $-3x^2 - 36$. Теперь проанализируем его, чтобы доказать, что оно всегда отрицательно.

• Квадрат любого действительного числа $x$ всегда неотрицателен, то есть $x^2 \ge 0$.
• При умножении неотрицательного значения $x^2$ на отрицательное число $-3$, результат будет всегда неположительным: $-3x^2 \le 0$.
• Если из неположительного числа ($-3x^2$) вычесть положительное число ($36$), то результат всегда будет отрицательным.

Наибольшее значение, которое может принять выражение $-3x^2$, равно $0$. Это происходит, когда $x = 0$.При $x = 0$, значение всего выражения будет: $-3(0)^2 - 36 = 0 - 36 = -36$.

Так как $-36 < 0$, и это является максимальным значением нашего выражения, то при любом значении $x$ выражение $-3x^2 - 36$ будет отрицательным. Что и требовалось доказать.

Ответ: После упрощения исходное выражение принимает вид $-3x^2 - 36$. Так как $x^2 \ge 0$ для любого $x$, то $-3x^2 \le 0$. Следовательно, $-3x^2 - 36 \le -36$. Поскольку $-36$ — отрицательное число, то и значение всего выражения всегда будет отрицательным.