Номер 31.22, страница 140, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

Решите задачу, выделяя три этапа математического моделирования:

31.22 Из пункта А в пункт В, расстояние между которыми $17 \text{ км}$, вышел пешеход со скоростью $4 \text{ км/ч}$. Через $15 \text{ мин}$ из В в А навстречу ему выехал велосипедист со скоростью $12 \text{ км/ч}$. Какое расстояние до встречи преодолел велосипедист, а какое — пешеход?

Решим задачу, последовательно пройдя три этапа математического моделирования.

1. Составление математической модели

На этом этапе мы переведем условия задачи на язык математики. Введем переменные и составим уравнение, связывающее их.

Пусть $t$ (в часах) — время, которое ехал велосипедист до встречи с пешеходом.

Пешеход вышел на 15 минут раньше. Переведем минуты в часы: $15 \text{ мин} = \frac{15}{60} \text{ ч} = \frac{1}{4} \text{ ч} = 0.25 \text{ ч}$.
Следовательно, время, которое пешеход был в пути до встречи, составляет $(t + 0.25)$ часа.

Скорость пешехода $v_п = 4 \text{ км/ч}$.
Скорость велосипедиста $v_в = 12 \text{ км/ч}$.

Расстояние, которое прошел пешеход до встречи: $S_п = v_п \cdot (t + 0.25) = 4(t + 0.25)$ км.
Расстояние, которое проехал велосипедист до встречи: $S_в = v_в \cdot t = 12t$ км.

Пешеход и велосипедист двигались навстречу друг другу из пунктов A и B. К моменту встречи суммарное расстояние, которое они преодолели, равно расстоянию между пунктами A и B, то есть 17 км.

Получаем уравнение: $S_п + S_в = 17$.
Подставив выражения для $S_п$ и $S_в$, получаем математическую модель задачи: $4(t + 0.25) + 12t = 17$.

2. Работа с математической моделью

На этом этапе решим полученное уравнение и найдем неизвестные величины.

$4(t + 0.25) + 12t = 17$
Раскроем скобки:

$4t + 4 \cdot 0.25 + 12t = 17$
$4t + 1 + 12t = 17$

Приведем подобные слагаемые:

$16t + 1 = 17$
$16t = 17 - 1$
$16t = 16$
$t = \frac{16}{16}$
$t = 1$

Итак, время движения велосипедиста до встречи составило 1 час.

Теперь найдем расстояния, которые преодолели пешеход и велосипедист.

Расстояние, которое проехал велосипедист: $S_в = 12t = 12 \cdot 1 = 12$ км.
Расстояние, которое прошел пешеход: $S_п = 4(t + 0.25) = 4(1 + 0.25) = 4 \cdot 1.25 = 5$ км.

Проверим: $S_п + S_в = 5 + 12 = 17$ км, что соответствует условию задачи.

3. Интерпретация полученного результата

На этом этапе мы отвечаем на вопрос задачи, используя результаты, полученные на втором этапе.

Вопрос задачи: "Какое расстояние до встречи преодолел велосипедист, а какое — пешеход?".

Из наших вычислений следует, что до встречи велосипедист преодолел расстояние $S_в = 12$ км, а пешеход — расстояние $S_п = 5$ км.

Ответ: до встречи велосипедист преодолел 12 км, а пешеход — 5 км.