Номер 31.20, страница 139, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

Решите уравнение:

31.20 а)

$\frac{2x - 3}{3} + \frac{7x - 13}{6} + \frac{5 - 2x}{2} = x - 1;$

б) $\frac{x - 2}{5} + \frac{2x - 5}{4} + \frac{4x - 1}{20} = 4 - x;$

в) $\frac{5x - 4}{3} + \frac{3x - 2}{6} + \frac{2x - 1}{2} = 3x - 2;$

г) $\frac{3 - 5x}{5} + \frac{3x - 5}{3} + \frac{6x + 7}{15} = 2x + 1.$

а)

Данное уравнение: $\frac{2x-3}{3} + \frac{7x-13}{6} + \frac{5-2x}{2} = x - 1$
Чтобы избавиться от дробей, умножим обе части уравнения на наименьший общий знаменатель, который для чисел 3, 6 и 2 равен 6.
$6 \cdot \frac{2x-3}{3} + 6 \cdot \frac{7x-13}{6} + 6 \cdot \frac{5-2x}{2} = 6 \cdot (x - 1)$
$2(2x-3) + (7x-13) + 3(5-2x) = 6(x-1)$
Раскроем скобки:
$4x - 6 + 7x - 13 + 15 - 6x = 6x - 6$
Приведем подобные слагаемые в левой части:
$(4x+7x-6x) + (-6-13+15) = 6x-6$
$5x - 4 = 6x - 6$
Перенесем слагаемые с $x$ в одну сторону, а свободные члены в другую:
$6 - 4 = 6x - 5x$
$2 = x$

Ответ: $x = 2$

б)

Данное уравнение: $\frac{x-2}{5} + \frac{2x-5}{4} + \frac{4x-1}{20} = 4 - x$
Наименьший общий знаменатель для чисел 5, 4 и 20 равен 20. Умножим обе части уравнения на 20:
$20 \cdot \frac{x-2}{5} + 20 \cdot \frac{2x-5}{4} + 20 \cdot \frac{4x-1}{20} = 20 \cdot (4 - x)$
$4(x-2) + 5(2x-5) + 1(4x-1) = 20(4-x)$
Раскроем скобки:
$4x - 8 + 10x - 25 + 4x - 1 = 80 - 20x$
Приведем подобные слагаемые:
$18x - 34 = 80 - 20x$
Соберем слагаемые с $x$ слева, а константы справа:
$18x + 20x = 80 + 34$
$38x = 114$
Найдем $x$:
$x = \frac{114}{38}$
$x = 3$

Ответ: $x = 3$

в)

Данное уравнение: $\frac{5x-4}{3} + \frac{3x-2}{6} + \frac{2x-1}{2} = 3x - 2$
Наименьший общий знаменатель для чисел 3, 6 и 2 равен 6. Умножим обе части уравнения на 6:
$6 \cdot \frac{5x-4}{3} + 6 \cdot \frac{3x-2}{6} + 6 \cdot \frac{2x-1}{2} = 6 \cdot (3x - 2)$
$2(5x-4) + 1(3x-2) + 3(2x-1) = 6(3x - 2)$
Раскроем скобки:
$10x - 8 + 3x - 2 + 6x - 3 = 18x - 12$
Приведем подобные слагаемые:
$19x - 13 = 18x - 12$
Перенесем переменные налево, числа направо:
$19x - 18x = -12 + 13$
$x = 1$

Ответ: $x = 1$

г)

Данное уравнение: $\frac{3-5x}{5} + \frac{3x-5}{3} + \frac{6x+7}{15} = 2x + 1$
Наименьший общий знаменатель для чисел 5, 3 и 15 равен 15. Умножим обе части уравнения на 15:
$15 \cdot \frac{3-5x}{5} + 15 \cdot \frac{3x-5}{3} + 15 \cdot \frac{6x+7}{15} = 15 \cdot (2x + 1)$
$3(3-5x) + 5(3x-5) + 1(6x+7) = 15(2x+1)$
Раскроем скобки:
$9 - 15x + 15x - 25 + 6x + 7 = 30x + 15$
Приведем подобные слагаемые в левой части:
$(-15x+15x+6x) + (9-25+7) = 30x+15$
$6x - 9 = 30x + 15$
Перенесем переменные направо, а числа налево для удобства:
$-9 - 15 = 30x - 6x$
$-24 = 24x$
Найдем $x$:
$x = \frac{-24}{24}$
$x = -1$

Ответ: $x = -1$