Номер 31.30, страница 140, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

31.30 Длина прямоугольника на 8 см больше ширины. Если ширину увеличить в 2 раза, а длину уменьшить на 4 см, то площадь прямоугольника увеличится на 25 см². Найдите стороны прямоугольника.

Пусть ширина исходного прямоугольника равна $x$ см. Согласно условию, длина прямоугольника на 8 см больше ширины, следовательно, длина равна $(x + 8)$ см.

Площадь исходного прямоугольника, обозначим ее $S_1$, равна произведению длины на ширину:

$S_1 = x \cdot (x + 8) = x^2 + 8x$ см².

По условию задачи, ширину увеличили в 2 раза, а длину уменьшили на 4 см. Найдем новые размеры прямоугольника:

Новая ширина: $2x$ см.

Новая длина: $(x + 8) - 4 = x + 4$ см.

Площадь нового прямоугольника, обозначим ее $S_2$, будет равна:

$S_2 = 2x \cdot (x + 4) = 2x^2 + 8x$ см².

Известно, что новая площадь на 25 см² больше исходной, то есть $S_2 = S_1 + 25$. Составим и решим уравнение:

$2x^2 + 8x = (x^2 + 8x) + 25$

Раскроем скобки и перенесем все слагаемые в левую часть уравнения:

$2x^2 + 8x - x^2 - 8x - 25 = 0$

Приведем подобные члены:

$x^2 - 25 = 0$

Это неполное квадратное уравнение, которое можно решить разложением на множители:

$(x - 5)(x + 5) = 0$

Уравнение имеет два корня: $x_1 = 5$ и $x_2 = -5$.

Так как ширина прямоугольника не может быть отрицательной величиной, то нам подходит только корень $x = 5$.

Таким образом, ширина исходного прямоугольника равна 5 см.

Найдем длину исходного прямоугольника:

$x + 8 = 5 + 8 = 13$ см.

Ответ: ширина прямоугольника 5 см, длина 13 см.