Номер 31.31, страница 141, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

31.31 В прямоугольном параллелепипеде длина и ширина одинаковые, а высота на 6 см больше длины. Если длину увеличить в 2 раза, высоту уменьшить на 3 см, а ширину оставить без изменения, то объём параллелепипеда увеличится на $64 \text{ см}^3$. Найдите измерения данного параллелепипеда.

Пусть длина и ширина исходного прямоугольного параллелепипеда равны $x$ см. Согласно условию, высота на 6 см больше длины, следовательно, высота равна $(x + 6)$ см.

Объём исходного параллелепипеда $V_1$ равен произведению его измерений:
$V_1 = x \cdot x \cdot (x + 6) = x^2(x + 6)$ см$^3$.

После изменений были получены новые размеры параллелепипеда:

• длина была увеличена в 2 раза: $2x$ см;
• ширина осталась без изменений: $x$ см;
• высота была уменьшена на 3 см: $(x + 6) - 3 = (x + 3)$ см.

Объём нового параллелепипеда $V_2$ равен:
$V_2 = 2x \cdot x \cdot (x + 3) = 2x^2(x + 3)$ см$^3$.

По условию задачи, объём нового параллелепипеда на 64 см$^3$ больше объёма исходного, что можно записать в виде уравнения: $V_2 - V_1 = 64$.

Составим и решим это уравнение:
$2x^2(x + 3) - x^2(x + 6) = 64$
Раскроем скобки:
$2x^3 + 6x^2 - (x^3 + 6x^2) = 64$
$2x^3 + 6x^2 - x^3 - 6x^2 = 64$
Приведём подобные слагаемые:
$x^3 = 64$
$x = \sqrt[3]{64}$
$x = 4$

Таким образом, длина и ширина исходного параллелепипеда равны 4 см.

Найдём высоту исходного параллелепипеда:
$x + 6 = 4 + 6 = 10$ см.

Следовательно, измерения данного параллелепипеда: длина — 4 см, ширина — 4 см, высота — 10 см.

Ответ: 4 см, 4 см, 10 см.