Номер 31.33, страница 141, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

31.33 Из двух пунктов А и В, расстояние между которыми равно 1 км, одновременно в одном направлении отправились пешеход и велосипедист. Через 45 мин расстояние между ними стало равным 7 км. Найдите, какое расстояние между ними будет через 1,5 часа, если известно, что расстояние между ними всё время увеличивалось.

Пусть $v_п$ — скорость пешехода, а $v_в$ — скорость велосипедиста. По условию, они движутся в одном направлении, и расстояние между ними всё время увеличивалось. Изначально расстояние между ними составляло $S_0 = 1$ км.

Увеличение расстояния возможно только в одном случае: если более быстрый участник движения (велосипедист, $v_в > v_п$) стартовал из точки, которая находилась впереди по направлению движения. В этом случае велосипедист с самого начала удаляется от пешехода. Если бы велосипедист стартовал позади, он бы сначала догонял пешехода, и расстояние между ними бы уменьшалось, что противоречит условию задачи.

Скорость, с которой расстояние между ними увеличивается, называется скоростью удаления и равна разности их скоростей: $v_{уд} = v_в - v_п$.

Общее расстояние между ними в момент времени $t$ можно рассчитать по формуле: $S(t) = S_0 + v_{уд} \cdot t$

Из условия известно, что через $t_1 = 45$ минут расстояние между ними стало $S_1 = 7$ км. Для расчетов переведем время в часы: $t_1 = 45 \text{ мин} = \frac{45}{60} \text{ ч} = 0.75$ ч.

Теперь мы можем найти скорость удаления, подставив известные значения в формулу: $7 \text{ км} = 1 \text{ км} + v_{уд} \cdot 0.75 \text{ ч}$

Решим уравнение относительно $v_{уд}$: $v_{уд} \cdot 0.75 = 7 - 1$ $v_{уд} \cdot 0.75 = 6$ $v_{уд} = \frac{6}{0.75} = \frac{6}{3/4} = 6 \cdot \frac{4}{3} = 8$ км/ч.

Теперь необходимо найти расстояние между пешеходом и велосипедистом через $t_2 = 1.5$ часа. Используем ту же формулу с найденной скоростью удаления: $S(t_2) = S_0 + v_{уд} \cdot t_2$

Подставляем значения: $S(1.5) = 1 \text{ км} + 8 \text{ км/ч} \cdot 1.5 \text{ ч}$ $S(1.5) = 1 + 12$ $S(1.5) = 13$ км.

Ответ: 13 км.