Номер 31.32, страница 141, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

31.32 Из двух пунктов $A$ и $B$, расстояние между которыми равно 2 км, одновременно в одном направлении отправились пешеход и велосипедист. Через 48 мин велосипедист опережал пешехода на 10 км. Найдите, какое расстояние будет между ними через 2 ч, если известно, что расстояние между ними всё время увеличивалось.

Пусть $v_п$ — скорость пешехода, а $v_в$ — скорость велосипедиста. Начальное расстояние между ними составляет $S_0 = 2$ км. Они движутся в одном направлении.

Ключевым условием задачи является то, что расстояние между ними всё время увеличивалось. Это означает, что более быстрый участник движения (велосипедист, $v_в > v_п$) с самого начала находился впереди более медленного (пешехода). Скорость, с которой они удаляются друг от друга, равна разности их скоростей и называется скоростью удаления:

$v_{уд} = v_в - v_п$

Изменение расстояния за время $t$ равно $v_{уд} \cdot t$. Таким образом, расстояние $S(t)$ между ними в момент времени $t$ вычисляется как сумма начального расстояния и изменения расстояния:

$S(t) = S_0 + v_{уд} \cdot t$

По условию, через $t_1 = 48$ минут расстояние между ними стало $S_1 = 10$ км. Переведем время в часы для согласованности единиц измерения:

$t_1 = 48 \text{ мин} = \frac{48}{60} \text{ ч} = 0.8 \text{ ч}$

Теперь мы можем найти скорость удаления, подставив известные значения в формулу:

$10 = 2 + v_{уд} \cdot 0.8$

Решим это уравнение относительно $v_{уд}$:

$v_{уд} \cdot 0.8 = 10 - 2$

$v_{уд} \cdot 0.8 = 8$

$v_{уд} = \frac{8}{0.8} = 10 \text{ км/ч}$

Теперь, зная скорость удаления, найдем, какое расстояние будет между ними через $t_2 = 2$ часа. Снова используем нашу формулу:

$S(t_2) = S_0 + v_{уд} \cdot t_2$

$S(2) = 2 + 10 \cdot 2$

$S(2) = 2 + 20 = 22 \text{ км}$

Ответ: 22 км.