Номер 33.45, страница 149, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

33.45 a) $9x^2 - 1 - (3x - 2)^2 = 0;$

б) $x + (5x + 2)^2 = 25(1 + x^2);$

в) $(2x - 3)^2 - 2x(4 + 2x) = 11;$

г) $(4x - 3)(3 + 4x) - 2x(8x - 1) = 0.$

а) Решим уравнение $9x^2 - 1 - (3x - 2)^2 = 0$. Сначала раскроем скобки. Выражение $(3x - 2)^2$ является квадратом разности, который раскрывается по формуле $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$. Применяя эту формулу, получаем: $(3x - 2)^2 = (3x)^2 - 2 \cdot 3x \cdot 2 + 2^2 = 9x^2 - 12x + 4$. Подставим это выражение в исходное уравнение: $9x^2 - 1 - (9x^2 - 12x + 4) = 0$. Теперь раскроем скобки, перед которыми стоит знак минус, поменяв знаки всех слагаемых внутри на противоположные: $9x^2 - 1 - 9x^2 + 12x - 4 = 0$. Приведем подобные слагаемые: $(9x^2 - 9x^2) + 12x + (-1 - 4) = 0$. Это упрощается до $12x - 5 = 0$. Перенесем $-5$ в правую часть уравнения с противоположным знаком: $12x = 5$. Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на 12: $x = \frac{5}{12}$.
Ответ: $x = \frac{5}{12}$.

б) Решим уравнение $x + (5x + 2)^2 = 25(1 + x^2)$. Раскроем скобки в обеих частях уравнения. В левой части используем формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$: $(5x + 2)^2 = (5x)^2 + 2 \cdot 5x \cdot 2 + 2^2 = 25x^2 + 20x + 4$. В правой части просто умножим 25 на каждое слагаемое в скобках: $25(1 + x^2) = 25 + 25x^2$. Теперь уравнение выглядит так: $x + 25x^2 + 20x + 4 = 25 + 25x^2$. Приведем подобные слагаемые в левой части: $25x^2 + 21x + 4 = 25 + 25x^2$. Перенесем все слагаемые с $x$ в левую часть, а постоянные члены - в правую. Вычтем $25x^2$ из обеих частей: $21x + 4 = 25$. Вычтем 4 из обеих частей: $21x = 25 - 4$, что дает $21x = 21$. Разделим обе части на 21, чтобы найти $x$: $x = \frac{21}{21} = 1$.
Ответ: $x = 1$.

в) Решим уравнение $(2x - 3)^2 - 2x(4 + 2x) = 11$. Сначала выполним все преобразования в левой части. Раскроем квадрат разности: $(2x - 3)^2 = (2x)^2 - 2 \cdot 2x \cdot 3 + 3^2 = 4x^2 - 12x + 9$. Раскроем скобки во втором слагаемом, умножив $-2x$ на каждое слагаемое внутри скобок: $-2x(4 + 2x) = -8x - 4x^2$. Подставим полученные выражения в уравнение: $4x^2 - 12x + 9 - 8x - 4x^2 = 11$. Приведем подобные слагаемые: $(4x^2 - 4x^2) + (-12x - 8x) + 9 = 11$. Упрощаем: $-20x + 9 = 11$. Перенесем 9 в правую часть с противоположным знаком: $-20x = 11 - 9$, что равносильно $-20x = 2$. Чтобы найти $x$, разделим обе части на -20: $x = \frac{2}{-20} = -\frac{1}{10}$.
Ответ: $x = -\frac{1}{10}$.

г) Решим уравнение $(4x - 3)(3 + 4x) - 2x(8x - 1) = 0$. Заметим, что первое произведение $(4x - 3)(3 + 4x)$ можно переписать как $(4x - 3)(4x + 3)$. Это формула разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$. Применим ее: $(4x)^2 - 3^2 = 16x^2 - 9$. Теперь раскроем скобки во втором слагаемом: $-2x(8x - 1) = -16x^2 + 2x$. Подставим полученные выражения в исходное уравнение: $16x^2 - 9 - 16x^2 + 2x = 0$. Приведем подобные слагаемые: $(16x^2 - 16x^2) + 2x - 9 = 0$. Уравнение упрощается до $2x - 9 = 0$. Перенесем -9 в правую часть: $2x = 9$. Найдем $x$, разделив обе части на 2: $x = \frac{9}{2}$.
Ответ: $x = \frac{9}{2}$.