Номер 33.48, страница 149, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

33.48 В прямоугольном параллелепипеде длина на 5 см больше ширины и на 5 см меньше высоты. Найдите измерения прямоугольного параллелепипеда, если площадь его поверхности равна $244\text{ см}^2$.

Обозначим измерения прямоугольного параллелепипеда: $l$ - длина, $w$ - ширина, $h$ - высота.

По условию задачи, длина на 5 см больше ширины, что можно записать как $l = w + 5$. Отсюда выразим ширину через длину: $w = l - 5$.

Также по условию, длина на 5 см меньше высоты, что можно записать как $l = h - 5$. Отсюда выразим высоту через длину: $h = l + 5$.

Таким образом, все три измерения выражены через одну переменную - длину $l$:
Длина: $l$ см
Ширина: $w = l - 5$ см
Высота: $h = l + 5$ см

Площадь полной поверхности прямоугольного параллелепипеда находится по формуле:
$S = 2(lw + lh + wh)$

Известно, что площадь поверхности равна 244 см². Подставим в формулу выражения для ширины и высоты, а также значение площади, и составим уравнение:
$244 = 2(l(l - 5) + l(l + 5) + (l - 5)(l + 5))$

Разделим обе части уравнения на 2:
$122 = l(l - 5) + l(l + 5) + (l - 5)(l + 5)$

Раскроем скобки в правой части уравнения. Для последнего произведения используем формулу разности квадратов $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$:
$122 = (l^2 - 5l) + (l^2 + 5l) + (l^2 - 25)$

Приведем подобные слагаемые:
$122 = l^2 - 5l + l^2 + 5l + l^2 - 25$
$122 = 3l^2 - 25$

Решим полученное уравнение относительно $l$:
$3l^2 = 122 + 25$
$3l^2 = 147$
$l^2 = \frac{147}{3}$
$l^2 = 49$
$l = \sqrt{49} = 7$
(Берем только положительное значение корня, так как длина не может быть отрицательной).

Мы нашли длину: $l = 7$ см.

Теперь найдем остальные измерения:
Ширина: $w = l - 5 = 7 - 5 = 2$ см.
Высота: $h = l + 5 = 7 + 5 = 12$ см.

Таким образом, измерения параллелепипеда равны 2 см, 7 см и 12 см.

Ответ: измерения прямоугольного параллелепипеда равны 2 см, 7 см и 12 см.